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複素数と図形

今回の目標は複素数の幾何的側面に慣れることです.

複素数の和・差はベクトルとみることができ,
積により回転と相似変換を扱うことができ,
商を極形式で表すことにより 2つのベクトルの大きさの比と偏角をみることができます.

これらを道具として,円・直線・三角形・四角形といった図形も扱えるようになりましょう.

複素数のベクトル的側面

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複素数のベクトル的側面を確かめる良問です.

(1) βの偏角はαの共役の偏角と一致させているので,あとは大きさ(原点からの距離)です.
「|β|を用いて表せ」とありますから,β方向の単位ベクトルの|β|倍と考えるとよいでしょう.
(2) C(γ)は直線ABと実軸との交点ですから,2直線を連立して求めることもできます.
問題の設定から実軸は∠BOAの二等分線でもあり,CはABをOA:OBに内分する点でもあります. 分点公式が利用できます.
(γ-β)/(α-β)については, |β|で表されたβ,γを代入して整理するという手もありますが, 図形的な解釈をすると瞬殺できます.

 ----- 参考問題 -----

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zの存在範囲はベクトルと同じように斜交座標系を考えるとよいでしょう.

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(1)三角形の面積公式の複素数版です.(1),(2)ともに共役の計算に慣れておく必要があります.目標を立てて式変形していきましょう.

回転移動

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平行移動と回転についての基本問題です.原点以外の点のまわりの回転も扱えるようにしましょう.

複素数の和・差は複素数平面では平行移動として捉えることができます.
ベクトルの和・差をイメージするとよいでしょう.

(\cos \theta+i\sin \theta)zは,点zを原点を中心として角\thetaだけ回転した点です.
点B(β)の点A(α)を中心としてθ回転させた点C(γ)は, 回転の中心を原点にするために,
βを-α平行移動して,θ回転する.この後αだけ平行移動することにより得られます.

  \gamma=(\cos \theta +i\sin \theta)(\beta-\alpha)+\alpha

すなわち

  \gamma-\alpha=(\cos \theta +i\sin \theta)(\beta-\alpha)

です. これは\vec{AB}をθ回転させると\vec{AC}が得られるということです.

-\frac{\pi}{2}<\theta\leq\frac{\pi}{2}の条件はθを1つに絞るための条件です.

∠BOA\frac{\alpha}{\beta}の偏角を調べましょう.

 ----- 参考問題 -----

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極形式での表現と図形的意味を繋ぎましょう.

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回転して楕円の標準形を求める問題です.複素数平面上の点zを原点のまわりにθ回転させた点は(cosθ+i sinθ)z として求めることができます.

円の方程式

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与えられた不等式を主眼とするか, 「実数tが存在する」を主眼とするかで解法がわかることでしょう.

不等式を主眼とするなら,左辺を|α-β|の形に見直します. |α-β|≦1は線分αβの長さについての不等式であり,βを固定すると, αはβを中心とした半径1の円の周および内部を動きます.

「実数tが存在する」を主眼とするなら, α=x+yi(x,yは実数)とおいて, 与えられた不等式を平方し,tの2次不等式として処理しましょう.

 ----- 参考問題 -----

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アポロニウスの円です.

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実数であるための条件と円の方程式を求めています.

直線の方程式

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ベクトルでいうと,(1)は2点(通過点と方向ベクトル)が与えらえれたときの直線の方程式,
(2)は通過点と法線ベクトルが与えられたときの直線の方程式となりますが,これを複素数で表せということです.

P(z)がA(a),B(b)を通る直線上にあるための条件は  \frac{z-a}{b-a}が実数

P(z)がC(c)を通り,A(a),B(b)を通る直線と直交する直線上にあるための条件は  \frac{z-c}{b-a}が純虚数または0

 ----- 参考問題 -----

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垂直2等分線,純虚数についての取扱いを問うています.

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(1)Pが△OABの外心である条件は「OP=AP=BP」です.αβ=zをαだけの関係式として表しましょう.(2)αβ=zを満たすα,βが存在するようなzの条件を求めます.

共線条件・共円条件

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円周上の異なる4点α,γ,β,δがこの順に四角形をつくるとき, α,βはγ,δを隔離するといいます.
本問では1,−1がz,wを隔離しています.

(1)の証明が終わったら, 4点α,γ,β,δが同一円周上にあるための必要十分な条件(共円条件)は

α,βはγ,δを隔離するときは   \frac{(\alpha-\delta)(\beta-\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\beta-\delta)}は負の実数

α,βはγ,δを隔離しないときは   \frac{(\alpha-\delta)(\beta-\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\beta-\delta)}は正の実数

であることを確かめておきましょう.

(2)では,\frac{1+z^2}{2}の虚部が負であることを確認してから(1)を用いましょう.

 ----- 参考問題 -----

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3点が同一直線上にあるための条件は?

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三角形・四角形

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(1),(2)は,△z_1z_2z_3が正三角形である必要十分条件はz_1+z_2+z_3=0であること示しています.
z_1z_2z_3の重心は\frac{z_1+z_2+z_3}{3}であり,本問において△z_1z_2z_3の外心は0なので,
正三角形である必要十分条件は重心と外心が一致することであるを示せというわけです.
複素数を用いてこれを示しましょう.

(3)では各辺および対角線の長さを調べてみましょう.

 ----- 参考問題 -----

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Eを求めるとき,△ADE≡△ABCには同じ向きに合同であるときと逆向きに合同であるときの両方があることに注意しましょう.

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三角形の相似条件,分点公式を確認しておきましょう.

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鋭角三角形である条件を長さでとらえるか,角でとらえるかで解法が分かれます.

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α,β,γの対称式であることに着目して,α,β,γの間の関係を探りましょう.

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正方形をつくるためのzとwの関係(回転移動と相似変換)を式で表しましょう.


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Last-modified: 2018-07-15 (日) 09:27:36 (125d)