「軌跡・領域」の指導例

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「軌跡・領域」の指導例

旺文社「軌跡・領域　分野別　標準問題精講」を題材にして， 東京都立戸山高等学校で3回の研修会を行う機会を得ることができました．

第1回（同値変形，解の配置） †

【1-1】（解答）

1次以下の方程式・不等式の解の状態を確認します．

【1-2】（解答）

連立方程式の解の状態を確認します．
図形的解釈も理解を助けますが，
加減法・代入法を用いるとき同値変形であるための条件を確認します．

【1-3】（解答）

2次方程式の解の配置の問題です．

【1-4】（解答）

今回の内容の総合問題です．
2円の共有点を連立方程式の実数解の組と解釈します．

第2回(値域，与えられた条件を満たす点の軌跡) †

【2-1】（解答）

2次方程式が実数解をもつための条件は「(判別式)≧0」です．
解のとり得る値の範囲をどう解釈するかが問題です．

【2-2】（解答）

最大値を求めるだけなら相加平均・相乗平均の関係を用いることができます．
値域を求める問題となると話は別です．

【2-3】（解答）

(1)がなければ，(2)は図形的に解くこともできます．

【2-4】（解答）

領域における最大最小問題ですが，場合分けがあります．
変数の取り換えを考えるのも一案です．

【2-5】（解答）

アポロニウスの円です．(2)では円が2つ登場します．

【2-6】（解答）

楕円の標準形を正しく導きたいものです．

第3回（パラメータ表示される点の軌跡，通過領域） †

【3-1】(解答)

第1，2回の復習問題です．
「パラメータの存在条件」「無理方程式の同値変形」を確認します．

【3-2】(解答)

2直線の交点の軌跡ですが，交点の座標を求める必要はありません．

【3-3】(解答)

Qのパラメータ表示が必要です．円のパラメータ表示を活用しましょう．

【3-4】(解答)

Pの座標を(1,t)とするとOPの垂直二等分線はtを含むx,yの1次式で表されます．
通過領域を求めるにはいくつかの方法があります．