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前期 XH§2
(201)〜(208) ベクトル
(209)〜(213) 順列・組合せ
(214)〜(220) 確率

問題文をクリックすると解答をみることができます.

(214) 確率の定義

ある試行において, 起こり得る結果の全体を集合 U で表し, U で表される事象を全事象という.

全事象は必ず起こる事象である. また,すべての事象は U の部分集合で表すことができる.

とくに,U の1個の要素だけからなる集合で表される事象を根元事象という. 根元事象のどれもが同じ程度に起こると期待できるとき, 根元事象は同様に確からしいという.

ある試行において, 全事象 U の根元事象の個数は,n(U)=N であり, どの根元事象も同様に確からしいとする.
事象 A の根元事象の個数を n(A)=a とするとき, 事象 A の確率を \frac{a}{N} で定め,P(A) と書く.すなわち

  P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{a}{N}

である.

問題文をクリックしてみて下さい.

袋の中の玉を等確率に取り出すように玉をすべて区別しましょう.

問題文をクリックしてみて下さい.

与えられた状況を的確にとらえましょう.場合分けが多くなったときは余事象を考えてみるのも手です.

(215) 確率の基本性質

(1) 全事象 U の部分集合 A に対して
  0\leq P(A)\leq 1,  P(\empty)=0 (\emptyは空集合), P(U)=1

(2) 事象 AB に対し
  P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

特に AB が互いに排反のとき
  P(A\cup B)=P(A)+P(B)

(3) A の余事象 \overline{A} に対し
  P(\overline{A})=1-P(A)

問題文をクリックしてみて下さい.

実は,A,Bの玉の取り出す確率は,玉を取り出す順序に関係しません.

(216) 最大値・最小値

問題文をクリックしてみて下さい.

条件を満たす目の出方を正しく数えましょう.最大値がMで最小値がmであるということは,すべての目がm以上M以下であり,少なくとも1つはMの目が出てかつ少なくとも1つはmの目が出るということです.

問題文をクリックしてみて下さい.

さいころをn回振るときの出た目の最大値がMであるということは,出た目はすべてM以下であり,かつMの目が少なくとも1つ出るということです.最小値Lについても同じように考えましょう.

(217) 独立な試行

2つの試行S,Tが互いに他方の結果に影響を与えないとき,
SとTは独立であるという.

2つの独立な試行S,Tを行うとき,Sでは事象A が起こり,
Tでは事象Bが起こるという事象をCとすると,事象Cの確率は

  P(C)=P(A)P(B)

である.

問題文をクリックしてみて下さい.

各対戦は独立な試行です.
後半はBがAに負けるかA以外にの人に負けるかで場合分けします.

問題文をクリックしてみて下さい.

6の目が出た回で試行は終了します.
はじめての6が何回目で出るかで場合分けしましょう.

(218) 反復試行

同じ条件のもとで同じ試行を何回か繰り返し行うとき,各回の試行は独立である.
このような試行を 反復試行 という.

1回の試行で事象Aが起こる確率をpとする. この試行をn回繰り返す反復試行において, Eがちょうどr回起こる確率は

  _n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}

である.

問題文をクリックしてみて下さい.

得点が3点となる回数で場合分けするとよいでしょう.

問題文をクリックしてみて下さい.

(1)表裏の出る回数を把握しましょう.
(2)表裏の出る回数は(1)と同じです.あとは条件を満たす移動何通りあるかです.
これはグラフを利用すると説明しやすいでしょう.

問題文をクリックしてみて下さい.

1回のサイコロ投げにおいて移動は3通りあります.
n回後のPの座標と3種類の移動の回数についての連立方程式を作りましょう.
(3)のQ(k)は条件付き確率です.

(219) 条件付き確率,確率の乗法定理

事象 A が起こったときに事象 B が起こる確率を,
事象 A が起こったときの事象 B が起こる条件付き確率といい, P_A(B) と表す.

  P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

である.これにより次の等式が得られる.

  P(A\cap B)=P(A)P_A(B)  (確率の乗法定理)

問題文をクリックしてみて下さい.

条件付き確率ですが,これは結果がわかったときに,それより以前の確率を求めるものであり,原因の確率と呼ばれています.

問題文をクリックしてみて下さい.

条件付き確率(原因の確率)のオンパレードです.

(220) 確率の漸化式

n回目に事象Eが起こる確率を p_n とすると n+1 回目に E が起こるのは

  (i) n回目に E が起こって, n+1 回目に E が起こる

または

  (ii) n回目に E が起こらず, n+1 回目に E が起こる

のいずれかであるり

  p_{n+1}=a p_n+b(1-p_n)

の形で表すことができる.

問題文をクリックしてみて下さい.

確率と漸化式の融合問題です.
n回目からn+1回目の状況変化を式で表しましょう.

問題文をクリックしてみて下さい.

(1)n秒後からn+1秒後の状況変化を式で表しましょう.
(2)2項間漸化式を解きます.


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Last-modified: 2018-07-19 (木) 10:12:55 (121d)