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前期　XH§2
(201)〜(208)　ベクトル
(209)〜(213)　順列・組合せ
(214)〜(220)　確率

問題文をクリックすると解答をみることができます．

(214) 確率の定義 †

ある試行において， 起こり得る結果の全体を集合 U で表し， U で表される事象を全事象という．

全事象は必ず起こる事象である． また，すべての事象は U の部分集合で表すことができる．

とくに，U の1個の要素だけからなる集合で表される事象を根元事象という． 根元事象のどれもが同じ程度に起こると期待できるとき， 根元事象は同様に確からしいという．

ある試行において， 全事象 U の根元事象の個数は，n(U)=N であり， どの根元事象も同様に確からしいとする．
事象 A の根元事象の個数を n(A)=a とするとき， 事象 A の確率を \frac{a}{N} で定め，P(A) と書く．すなわち

　　P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{a}{N}

である．

問題文をクリックしてみて下さい．

袋の中の玉を等確率に取り出すように玉をすべて区別しましょう．

問題文をクリックしてみて下さい．

与えられた状況を的確にとらえましょう．場合分けが多くなったときは余事象を考えてみるのも手です．

↑

(215) 確率の基本性質 †

(1) 全事象 U の部分集合 A に対して
　　0\leq P(A)\leq 1，　 P(\empty)=0 (\emptyは空集合)，　P(U)=1

(2) 事象 A，B に対し
　　P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

特に A，B が互いに排反のとき
　　P(A\cup B)=P(A)+P(B)

(3) A の余事象 \overline{A} に対し
　　P(\overline{A})=1-P(A)

問題文をクリックしてみて下さい．

実は，A，Bの玉の取り出す確率は，玉を取り出す順序に関係しません．

↑

(216) 最大値・最小値 †

問題文をクリックしてみて下さい．

条件を満たす目の出方を正しく数えましょう．最大値がMで最小値がmであるということは，すべての目がm以上M以下であり，少なくとも1つはMの目が出てかつ少なくとも1つはmの目が出るということです．

問題文をクリックしてみて下さい．

さいころをn回振るときの出た目の最大値がMであるということは，出た目はすべてM以下であり，かつMの目が少なくとも1つ出るということです．最小値Lについても同じように考えましょう．

↑

(217) 独立な試行 †

2つの試行S，Tが互いに他方の結果に影響を与えないとき，
SとTは独立であるという．

2つの独立な試行S，Tを行うとき，Sでは事象A が起こり，
Tでは事象Bが起こるという事象をCとすると，事象Cの確率は

　　P(C)=P(A)P(B)

である．

問題文をクリックしてみて下さい．

各対戦は独立な試行です．
後半はBがAに負けるかA以外にの人に負けるかで場合分けします．

問題文をクリックしてみて下さい．

6の目が出た回で試行は終了します．
はじめての6が何回目で出るかで場合分けしましょう．

↑

(218) 反復試行 †

同じ条件のもとで同じ試行を何回か繰り返し行うとき，各回の試行は独立である．
このような試行を 反復試行 という．

1回の試行で事象Aが起こる確率をpとする． この試行をn回繰り返す反復試行において， Eがちょうどr回起こる確率は

　　_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}

である．

問題文をクリックしてみて下さい．

得点が3点となる回数で場合分けするとよいでしょう．

問題文をクリックしてみて下さい．

(1)表裏の出る回数を把握しましょう．
(2)表裏の出る回数は(1)と同じです．あとは条件を満たす移動何通りあるかです．
これはグラフを利用すると説明しやすいでしょう．

問題文をクリックしてみて下さい．

1回のサイコロ投げにおいて移動は3通りあります．
n回後のPの座標と3種類の移動の回数についての連立方程式を作りましょう．
(3)のQ(k)は条件付き確率です．

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(219) 条件付き確率，確率の乗法定理 †

事象 A が起こったときに事象 B が起こる確率を，
事象 A が起こったときの事象 B が起こる条件付き確率といい， P_A(B) と表す．

　　P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

である．これにより次の等式が得られる．

　　P(A\cap B)=P(A)P_A(B)　　(確率の乗法定理)

問題文をクリックしてみて下さい．

条件付き確率ですが，これは結果がわかったときに，それより以前の確率を求めるものであり，原因の確率と呼ばれています．

問題文をクリックしてみて下さい．

条件付き確率(原因の確率)のオンパレードです．

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(220) 確率の漸化式 †

n回目に事象Eが起こる確率を p_n とすると n+1 回目に E が起こるのは

　　(i)　n回目に E が起こって， n+1 回目に E が起こる

または

　　(ii)　n回目に E が起こらず， n+1 回目に E が起こる

のいずれかであるり

　　p_{n+1}=a p_n+b(1-p_n)

の形で表すことができる．

問題文をクリックしてみて下さい．

確率と漸化式の融合問題です．
n回目からn+1回目の状況変化を式で表しましょう．

問題文をクリックしてみて下さい．

(1)n秒後からn+1秒後の状況変化を式で表しましょう．
(2)2項間漸化式を解きます．
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Last-modified: 2018-07-19 (木) 10:12:55 (2107d)