数学II・Bチェック＆リピート　第7章　§2数学的帰納法と漸化式　1.数学的帰納法

数学II・Bチェック＆リピート
群数列 ← §2 数学的帰納法と漸化式：数学的帰納法 → 2項間漸化式a_{n+1}=a_n+q(n)

問題文をクリックすると解答をみることができます．

数学的帰納法 †

類題演習 †

数学的帰納法が利用できます．

漸化式と不定方程式がキレイに融合した問題です．

ノーヒントで出題したくなる問題です．

ノーヒントで出題したくなる問題です．

(３)は指数法則に注意しながら数学的帰納法を用います．

後半は前半の不等式を利用します．

(３)(１)の値を代入してみましょう．(４)定数を予想します．

(２)(１)の値を代入してみましょう．(３)定数を予想します．

(3)が示されれば，(2)は成り立ちますね．

推定して証明するという帰納法の基本パターンです．

(３)は小さい方の値を順次代入しながら f(j) の値を調べていきましょう．

(２)，(３)は(４)のヒントになっています．

自然数ｎについての命題なので数学的帰納法を用いましょう．

数学的帰納法を利用しましょう．

(２)では sin nθ は cos θ の n-1次多項式 fn(x) と sin θ の積で表すことができることを示しています．
fn(x) は第2種のチェビシェフの多項式と呼ばれています．

(１)〜(３)の手順を(４)の帰納法でも繰り返します．

(１)は(２)の準備です．

(２)(３)は数学的帰納法を用いましょう．

(１)で状況をみて，(２)で推定し，帰納法で確認するという流れでしょう．

数学的帰納法と解法が指定されていますが，
合同式を使うこともできます(もちろん，試験場では帰納法です)．

誘導がなくても数学的帰納法を用いることに気付きたい．

結果を予想し，過去すべてを引きずった数学的帰納法で証明します．

三角関数の公式も用いながら帰納法を進めます．

推測して数学的帰納法で示すタイプの典型問題です．

(1)，(2)とも数学的帰納法を用いましょう．

整数絡みの帰納法の基本問題です．

整数絡みで帰納法を用いる頻出問題です．

(３)の数列はフィボナッチ数列とよばれていすものであり，
数列｛ｐ＿ｎ｝はフィボナッチ数列の奇数項を並べた数列です．

ｎ＝１のときとｎ≧２のときで分けなければならないのですが，この場合分けに辿り着くか…

自然数ｎについての命題なので数学的帰納法を用いましょう．

「数学的帰納法を用いよ」とありますが，左辺の和を直接計算することもできます．

n≦ k での成立を仮定する数学的帰納法です．

自然数ｎについての命題なので数学的帰納法を用います．

１，２，…，ｎとｎ個の数との積の和の最小値を考察しています．

自然数ｎについての命題なので数学的帰納法を用います．

ａ，ｂついての対称式なので，基本対称式ａ＋ｂ，ａｂで式を処理しましょう．

ｎ=１，２，３，…，ｋでの成立を仮定して，ｎ＝ｋ＋１での成立を示します．

式を展開し，整理した結果を数学的帰納法を用いて証明しましょう．

凸関数と数学的帰納法 †

凸関数についての問題です．
(2)2個の数で成り立つ不等式は，4個，8個，16個，…でも成り立ちます．これを 数学的帰納法で示します．
(3)で突如積分．さてどうするか(数学III)．

カタラン数と数学的帰納法 †

(１)，(２)は(３)の準備であり，(３)は数学的帰納法を用いましょう．
難問ですね．