夏期数学IIB頻出三角関数の変更点

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#author("2018-09-02T15:44:27+09:00","","")
#author("2018-09-03T16:44:00+09:00","","")
[[FrontPage]]　[[kamelink:http://kamelink.com/]]

''夏期　数学IIB頻出''~
[[【1】～【2】指数・対数>http://kamelink.com/exam/index.php?%B2%C6%B4%FC%BF%F4%B3%D8IIB%C9%D1%BD%D0%BB%D8%BF%F4%A1%A6%C2%D0%BF%F4]] ~
[[【3】～【5】三角関数>http://kamelink.com/exam/index.php?%B2%C6%B4%FC%BF%F4%B3%D8IIB%C9%D1%BD%D0%BB%B0%B3%D1%B4%D8%BF%F4]]~
[[【6】～【9】図形と方程式>http://kamelink.com/exam/index.php?%B2%C6%B4%FC%BF%F4%B3%D8IIB%C9%D1%BD%D0%BF%DE%B7%C1%A4%C8%CA%FD%C4%F8%BC%B0]]~
[[【10】～【12】ベクトル>http://kamelink.com/exam/index.php?%B2%C6%B4%FC%BF%F4%B3%D8IIB%C9%D1%BD%D0%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB]]~
[[【13】～【16】数列>http://kamelink.com/exam/index.php?%B2%C6%B4%FC%BF%F4%B3%D8IIB%C9%D1%BD%D0%BF%F4%CE%F3&refer=FrontPage]]~

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問題文を''クリック''すると解答をみることができます．
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#contents

**【3】　2倍角の公式，合成の公式 [#b1ac6591]

-2倍角の公式
-- $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
-- $\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$
-三角関数の合成の手順~
① $a\sin\theta+b\cos\theta$ を $\sqrt{a^2+b^2}$ でくくる~
② $\sin\theta$，$\cos\theta$ の係数を同じ角の $\cos$，$\sin$ に置きかえる~
③ 加法定理で式を求める
-- $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$~
　　ただし $\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
-- $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)$~
　　ただし $\cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

//3.4-17青山学院大・国際政経・法2-1.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/3.4-17%E9%9D%92%E5%B1%B1%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E6%94%BF%E7%B5%8C%E3%83%BB%E6%B3%952-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/3.4-17%E9%9D%92%E5%B1%B1%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E6%94%BF%E7%B5%8C%E3%83%BB%E6%B3%952-1.pdf]]

αは第2象限，βは第3象限の角なので，α＋βは(3π)/2<α＋β<(5π)/2の範囲の角です．この範囲で sin は単調増加です．

//3.4-17山口大・理・医1・工・教育2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/3.4-17%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB1%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B22problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/3.4-17%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB1%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B22.pdf]]

(1)2倍角の公式の確認です．~
(2)π/4，α，π/3のsin または cos の値の大小を比較します．~
(3)(1)があるので，まずはπ/6，2β，π/3のcosの値の大小を抑えましょう．

//3.5-17福島大・人文社会3-4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/3.5-17%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%BA%BA%E6%96%87%E7%A4%BE%E4%BC%9A3-4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/3.5-17%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%BA%BA%E6%96%87%E7%A4%BE%E4%BC%9A3-4.pdf]]

sin，cos を合成して変数を1つにまとめましょう．あとは角の変域に注意します．

//3.5-17茨城大・教育10.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/3.5-17%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B210problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/3.5-17%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B210.pdf]]

yはxの2次関数となります．ｘのとり得る値の範囲に注意してyの最大値と最小値を求めます．


**【4】　三角方程式の解の個数 [#cf24ba0a]
-a,bを実数とするとき，$\cos \theta=a$，$\sin \theta=b$を満たす実数 $\theta$ が存在する条件は~
　　$a^2+b^2=1$~
である．

-三角方程式を $t=\sin\theta$ と置き換えたときは，$t$ と $\theta$ の対応関係にも注意すること．



//3.3-17早稲田大・スポ科2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/3.3-17%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%9D%E7%A7%912problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/3.3-17%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%9D%E7%A7%912.pdf]]

左辺を合成してθを一つにまとめます．合成したときの角の範囲のうちθが2個存在する範囲を単位円の中で抑えましょう．

//3.3-17福岡大・医2-1.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/3.3-17%E7%A6%8F%E5%B2%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB2-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/3.3-17%E7%A6%8F%E5%B2%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB2-1.pdf]]

与えられた方程式は sin x=t とおくとtの2次方程式になります．(1)はtに対応するxの個数に注意しなさいという(2)のヒントです．

**【5】　三角関数の応用 [#n764e64b]

-三角関数の最大値・最小値の求め方
--(i)　$\sin x$ や $\cos x$ などの1つの関数で式を表し，
式の値域を $-1\leq \sin x\leq 1$ や $-1\leq \cos x\leq 1$ の範囲で求める．
--(ii)　$a\sin x+b\cos x$ は合成の公式で変数を1か所にまとめる．
--(iii) 和積の公式，積和の公式を用いて1つの三角関数にする．
--(iv)　微分を利用する．
-積和の公式~
　　$\sin \alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}$~
　　$\cos \alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}$~
　　$\cos \alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}$~
　　$\sin \alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}$
-和積の公式~
　　$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$~
　　$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$~
　　$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$~
　　$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

//3.2-17西南学院大・文系2-1.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/3.2-17%E8%A5%BF%E5%8D%97%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB2-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/3.2-17%E8%A5%BF%E5%8D%97%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB2-1.pdf]]

(i)正弦定理により三角形の辺の長さを sin で表すことができます．~
(ii)三角形の内角の総和がπであることを利用するとSはαの関数として表すことができます．積和の公式を利用を考えてもよいでしょう．

//3.2-17大阪市大・理系4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/3.2-17%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/3.2-17%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB4.pdf]]

S=△OAB+△PABです．(1)，(2)とも何が固定されていて，何が動くのかを把握しましょう．~
どちらもSは1変数関数として表すことができます．
夏期数学IIB頻出三角関数 の変更点

夏期数学IIB頻出三角関数の変更点
