(2)複素数と図形
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#author("2018-07-15T09:27:35+09:00","","")
[[FrontPage]] /[[kamelink>http://kamelink.com/]]
//[[方程式と複素数および複素数平面(1):http://localhost/pu...
//[[方程式と複素数および複素数平面(2):http://localhost/pu...
//[[方程式と複素数および複素数平面(3):http://localhost/pu...
問題文を"''クリック''"すると解答をみることができます.
*複素数と図形 [#x61e9c49]
今回の目標は複素数の幾何的側面に慣れることです.
複素数の和・差はベクトルとみることができ,~
積により回転と相似変換を扱うことができ,~
商を極形式で表すことにより
2つのベクトルの大きさの比と偏角をみることができます.
これらを道具として,円・直線・三角形・四角形といった図形...
//[[(2)複素数と図形:http://kamelink.com/exam/index.php?%2...
#contents
//*高校で学ぶ複素数 [#gf71078a]
//-数学II「複素数と方程式」
//複素数が初めて現れるのは数学IIである.扱う項目は
//--複素数:虚数単位$i$の導入,複素数 $a+bi$ の相等,加減...
//--2次方程式の解と判別式:判別式<0のとき,数学Iでは「...
//--解と係数の関係:2次方程式の解と係数の関係
//--剰余の定理と因数定理:「研究」で組立除法を扱っている.
//--高次方程式:3次,4次の方程式,複2次も含む.実数係...
//-数学III「複素数平面」
//--複素数平面:実数倍,加法,減法のベクトル的側面.共役...
//--複素数の極形式と乗法,除法:絶対値,偏角.乗法,除法...
//--ド・モアブルの定理:1のn乗根,$z^n=$(複素数) .
//--複素数と図形:分点公式.円の方程式.垂直二等分線.半...
**複素数のベクトル的側面 [#a78c7a9b]
//1.9-02三重大・生物資源6.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2002/1.9-02%E4%B8%89%E9...
複素数のベクトル的側面を確かめる良問です.
(1) βの偏角はαの共役の偏角と一致させているので,あとは大...
「|β|を用いて表せ」とありますから,β方向の単位ベクトルの|...
(2) C(γ)は直線ABと実軸との交点ですから,2直線を連立して...
問題の設定から実軸は∠BOAの二等分線でもあり,CはABをOA:OB...
分点公式が利用できます.~
(γ-β)/(α-β)については,
|β|で表されたβ,γを代入して整理するという手もありますが,
図形的な解釈をすると瞬殺できます.
----- 参考問題 -----
//1.9-17早稲田大・人間科学B4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E6%97%A9%E7...
zの存在範囲はベクトルと同じように斜交座標系を考えるとよい...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E5%B1%B1%E5...
(1)三角形の面積公式の複素数版です.(1),(2)ともに共役の計...
**回転移動 [#j3e4b9f0]
//1.9-16和歌山大・システム工6.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E5%92%8C%E6...
平行移動と回転についての基本問題です.原点以外の点のまわ...
複素数の和・差は複素数平面では平行移動として捉えることが...
ベクトルの和・差をイメージするとよいでしょう.~
点$(\cos \theta+i\sin \theta)z$は,点zを原点を中心として...
点B(β)の点A(α)を中心としてθ回転させた点C(γ)は,
回転の中心を原点にするために,~
βを-α平行移動して,θ回転する.この後αだけ平行移動すること...
$\gamma=(\cos \theta +i\sin \theta)(\beta-\alpha)+\al...
すなわち
$\gamma-\alpha=(\cos \theta +i\sin \theta)(\beta-\alp...
です.
これは$\vec{AB}$をθ回転させると$\vec{AC}$が得られるという...
$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq\frac{\pi}{2}$の条件はθを1つに...
∠B$'$OA$'$は$\frac{\alpha}{\beta}$の偏角を調べましょう.
----- 参考問題 -----
//1.9-17福島大・後理工2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E7%A6%8F%E5...
極形式での表現と図形的意味を繋ぎましょう.
//1.9-17和歌山大・シス工5.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%92%8C%E6...
回転して楕円の標準形を求める問題です.複素数平面上の点z...
**円の方程式 [#ef249b5f]
//1.9-04京都大・後理系2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2004/1.9-04%E4%BA%AC%E9...
与えられた不等式を主眼とするか,
「実数tが存在する」を主眼とするかで解法がわかることでしょ...
不等式を主眼とするなら,左辺を|α-β|の形に見直します.
|α-β|≦1は線分αβの長さについての不等式であり,βを固定する...
αはβを中心とした半径1の円の周および内部を動きます.
「実数tが存在する」を主眼とするなら,
α=x+yi(x,yは実数)とおいて,
与えられた不等式を平方し,tの2次不等式として処理しましょ...
----- 参考問題 -----
//1.9-17神奈川大・理・工1-6.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E7%A5%9E%E5...
アポロニウスの円です.
//1.9-17芝浦工大・工・シス理工・デザ工・建3-3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E8%8A%9D%E6...
実数であるための条件と円の方程式を求めています.
**直線の方程式 [#v007e19e]
//1.9-04大阪府大・中工1-1.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2004/1.9-04%E5%A4%A7%E9...
ベクトルでいうと,(1)は2点(通過点と方向ベクトル)が与え...
(2)は通過点と法線ベクトルが与えられたときの直線の方程式と...
P(z)がA(a),B(b)を通る直線上にあるための条件は $\frac{...
P(z)がC(c)を通り,A(a),B(b)を通る直線と直交する直線上に...
----- 参考問題 -----
//1.9-17徳島大・医・歯・薬2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%BE%B3%E5...
垂直2等分線,純虚数についての取扱いを問うています.
//1.9-17北海道大・理3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%8C%97%E6...
(1)Pが△OABの外心である条件は「OP=AP=BP」です.αβ=zをα...
**共線条件・共円条件 [#w83b72b2]
//1.9-16東北大・後理5.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E6%9D%B1%E5...
円周上の異なる4点α,γ,β,δがこの順に四角形をつくるとき,
α,βはγ,δを隔離するといいます.~
本問では1,−1がz,wを隔離しています.
(1)の証明が終わったら,
4点α,γ,β,δが同一円周上にあるための必要十分な条件(共円...
α,βはγ,δを隔離するときは
$\frac{(\alpha-\delta)(\beta-\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\be...
α,βはγ,δを隔離しないときは
$\frac{(\alpha-\delta)(\beta-\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\be...
であることを確かめておきましょう.
(2)では,$\frac{1+z^2}{2}$の虚部が負であることを確認して...
----- 参考問題 -----
//1.9-17茨城大・工5-3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E8%8C%A8%E5...
3点が同一直線上にあるための条件は?
//1.9-99京都大・文系4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/1999/1.9-99%E4%BA%AC%E9...
//**$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$
**三角形・四角形 [#y6280504]
//1.9-16お茶の水女大・理(数)3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E3%81%8A%E8...
(1),(2)は,△$z_1z_2z_3$が正三角形である必要十分条件は$z_...
△$z_1z_2z_3$の重心は$\frac{z_1+z_2+z_3}{3}$であり,本問に...
正三角形である必要十分条件は重心と外心が一致することであ...
複素数を用いてこれを示しましょう.
(3)では各辺および対角線の長さを調べてみましょう.
----- 参考問題 -----
//1.9-17弘前大・理工(数学)5.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%BC%98%E5...
Eを求めるとき,△ADE≡△ABCには同じ向きに合同であるときと逆...
//1.9-05山形大・理4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2005/1.9-05%E5%B1%B1%E5...
三角形の相似条件,分点公式を確認しておきましょう.
//1.9-16東京大・理4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E6%9D%B1%E4...
鋭角三角形である条件を長さでとらえるか,角でとらえるかで...
//1.9-05京都大・理系3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2005/1.9-05%E4%BA%AC%E9...
α,β,γの対称式であることに着目して,α,β,γの間の関係を...
//1.9-17鹿児島大・理・工・医・歯7.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E9%B9%BF%E5...
正方形をつくるためのzとwの関係(回転移動と相似変換)を式...
終了行:
#author("2018-07-15T09:27:35+09:00","","")
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//[[方程式と複素数および複素数平面(1):http://localhost/pu...
//[[方程式と複素数および複素数平面(2):http://localhost/pu...
//[[方程式と複素数および複素数平面(3):http://localhost/pu...
問題文を"''クリック''"すると解答をみることができます.
*複素数と図形 [#x61e9c49]
今回の目標は複素数の幾何的側面に慣れることです.
複素数の和・差はベクトルとみることができ,~
積により回転と相似変換を扱うことができ,~
商を極形式で表すことにより
2つのベクトルの大きさの比と偏角をみることができます.
これらを道具として,円・直線・三角形・四角形といった図形...
//[[(2)複素数と図形:http://kamelink.com/exam/index.php?%2...
#contents
//*高校で学ぶ複素数 [#gf71078a]
//-数学II「複素数と方程式」
//複素数が初めて現れるのは数学IIである.扱う項目は
//--複素数:虚数単位$i$の導入,複素数 $a+bi$ の相等,加減...
//--2次方程式の解と判別式:判別式<0のとき,数学Iでは「...
//--解と係数の関係:2次方程式の解と係数の関係
//--剰余の定理と因数定理:「研究」で組立除法を扱っている.
//--高次方程式:3次,4次の方程式,複2次も含む.実数係...
//-数学III「複素数平面」
//--複素数平面:実数倍,加法,減法のベクトル的側面.共役...
//--複素数の極形式と乗法,除法:絶対値,偏角.乗法,除法...
//--ド・モアブルの定理:1のn乗根,$z^n=$(複素数) .
//--複素数と図形:分点公式.円の方程式.垂直二等分線.半...
**複素数のベクトル的側面 [#a78c7a9b]
//1.9-02三重大・生物資源6.tex
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複素数のベクトル的側面を確かめる良問です.
(1) βの偏角はαの共役の偏角と一致させているので,あとは大...
「|β|を用いて表せ」とありますから,β方向の単位ベクトルの|...
(2) C(γ)は直線ABと実軸との交点ですから,2直線を連立して...
問題の設定から実軸は∠BOAの二等分線でもあり,CはABをOA:OB...
分点公式が利用できます.~
(γ-β)/(α-β)については,
|β|で表されたβ,γを代入して整理するという手もありますが,
図形的な解釈をすると瞬殺できます.
----- 参考問題 -----
//1.9-17早稲田大・人間科学B4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E6%97%A9%E7...
zの存在範囲はベクトルと同じように斜交座標系を考えるとよい...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E5%B1%B1%E5...
(1)三角形の面積公式の複素数版です.(1),(2)ともに共役の計...
**回転移動 [#j3e4b9f0]
//1.9-16和歌山大・システム工6.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E5%92%8C%E6...
平行移動と回転についての基本問題です.原点以外の点のまわ...
複素数の和・差は複素数平面では平行移動として捉えることが...
ベクトルの和・差をイメージするとよいでしょう.~
点$(\cos \theta+i\sin \theta)z$は,点zを原点を中心として...
点B(β)の点A(α)を中心としてθ回転させた点C(γ)は,
回転の中心を原点にするために,~
βを-α平行移動して,θ回転する.この後αだけ平行移動すること...
$\gamma=(\cos \theta +i\sin \theta)(\beta-\alpha)+\al...
すなわち
$\gamma-\alpha=(\cos \theta +i\sin \theta)(\beta-\alp...
です.
これは$\vec{AB}$をθ回転させると$\vec{AC}$が得られるという...
$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq\frac{\pi}{2}$の条件はθを1つに...
∠B$'$OA$'$は$\frac{\alpha}{\beta}$の偏角を調べましょう.
----- 参考問題 -----
//1.9-17福島大・後理工2.tex
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極形式での表現と図形的意味を繋ぎましょう.
//1.9-17和歌山大・シス工5.tex
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回転して楕円の標準形を求める問題です.複素数平面上の点z...
**円の方程式 [#ef249b5f]
//1.9-04京都大・後理系2.tex
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与えられた不等式を主眼とするか,
「実数tが存在する」を主眼とするかで解法がわかることでしょ...
不等式を主眼とするなら,左辺を|α-β|の形に見直します.
|α-β|≦1は線分αβの長さについての不等式であり,βを固定する...
αはβを中心とした半径1の円の周および内部を動きます.
「実数tが存在する」を主眼とするなら,
α=x+yi(x,yは実数)とおいて,
与えられた不等式を平方し,tの2次不等式として処理しましょ...
----- 参考問題 -----
//1.9-17神奈川大・理・工1-6.tex
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アポロニウスの円です.
//1.9-17芝浦工大・工・シス理工・デザ工・建3-3.tex
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実数であるための条件と円の方程式を求めています.
**直線の方程式 [#v007e19e]
//1.9-04大阪府大・中工1-1.tex
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ベクトルでいうと,(1)は2点(通過点と方向ベクトル)が与え...
(2)は通過点と法線ベクトルが与えられたときの直線の方程式と...
P(z)がA(a),B(b)を通る直線上にあるための条件は $\frac{...
P(z)がC(c)を通り,A(a),B(b)を通る直線と直交する直線上に...
----- 参考問題 -----
//1.9-17徳島大・医・歯・薬2.tex
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垂直2等分線,純虚数についての取扱いを問うています.
//1.9-17北海道大・理3.tex
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(1)Pが△OABの外心である条件は「OP=AP=BP」です.αβ=zをα...
**共線条件・共円条件 [#w83b72b2]
//1.9-16東北大・後理5.tex
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円周上の異なる4点α,γ,β,δがこの順に四角形をつくるとき,
α,βはγ,δを隔離するといいます.~
本問では1,−1がz,wを隔離しています.
(1)の証明が終わったら,
4点α,γ,β,δが同一円周上にあるための必要十分な条件(共円...
α,βはγ,δを隔離するときは
$\frac{(\alpha-\delta)(\beta-\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\be...
α,βはγ,δを隔離しないときは
$\frac{(\alpha-\delta)(\beta-\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\be...
であることを確かめておきましょう.
(2)では,$\frac{1+z^2}{2}$の虚部が負であることを確認して...
----- 参考問題 -----
//1.9-17茨城大・工5-3.tex
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3点が同一直線上にあるための条件は?
//1.9-99京都大・文系4.tex
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//**$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$
**三角形・四角形 [#y6280504]
//1.9-16お茶の水女大・理(数)3.tex
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(1),(2)は,△$z_1z_2z_3$が正三角形である必要十分条件は$z_...
△$z_1z_2z_3$の重心は$\frac{z_1+z_2+z_3}{3}$であり,本問に...
正三角形である必要十分条件は重心と外心が一致することであ...
複素数を用いてこれを示しましょう.
(3)では各辺および対角線の長さを調べてみましょう.
----- 参考問題 -----
//1.9-17弘前大・理工(数学)5.tex
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Eを求めるとき,△ADE≡△ABCには同じ向きに合同であるときと逆...
//1.9-05山形大・理4.tex
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三角形の相似条件,分点公式を確認しておきましょう.
//1.9-16東京大・理4.tex
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鋭角三角形である条件を長さでとらえるか,角でとらえるかで...
//1.9-05京都大・理系3.tex
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α,β,γの対称式であることに着目して,α,β,γの間の関係を...
//1.9-17鹿児島大・理・工・医・歯7.tex
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正方形をつくるためのzとwの関係(回転移動と相似変換)を式...
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