確率
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#author("2018-07-19T10:12:55+09:00","","")
[[FrontPage]] [[kamelink:http://kamelink.com/]]
前期 XH§2~
[[(201)〜(208) ベクトル:http://kamelink.com/exam/index.p...
[[(209)〜(213) 順列・組合せ:http://kamelink.com/exam/ind...
[[(214)〜(220) 確率:http://kamelink.com/exam/index.php?%...
問題文を''クリック''すると解答をみることができます.
#contents
**(214) 確率の定義 [#q63129f4]
ある試行において,
起こり得る結果の全体を集合 $U$ で表し,
$U$ で表される事象を''全事象''という.
全事象は必ず起こる事象である.
また,すべての事象は $U$ の部分集合で表すことができる.
とくに,$U$ の1個の要素だけからなる集合で表される事象を''...
根元事象のどれもが同じ程度に起こると期待できるとき,
根元事象は''同様に確からしい''という.
ある試行において,
全事象 $U$ の根元事象の個数は,$n(U)=N$ であり,
どの根元事象も同様に確からしいとする.~
事象 $A$ の根元事象の個数を $n(A)=a$ とするとき,
事象 $A$ の確率を $\frac{a}{N}$ で定め,$P(A)$ と書く.す...
$P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{a}{N}$
である.
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.4-17%E5%B0%8F%E...
袋の中の玉を等確率に取り出すように玉をすべて区別しましょ...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/16.4-16%E5%AD%A6%E...
与えられた状況を的確にとらえましょう.場合分けが多くなっ...
**(215) 確率の基本性質 [#a0e110f7]
(1) 全事象 $U$ の部分集合 $A$ に対して~
$0\leq P(A)\leq 1$, $P(\empty)=0$ ($\empty$は空集...
(2) 事象 $A$,$B$ に対し~
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
特に $A$,$B$ が互いに排反のとき~
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
(3) $A$ の余事象 $\overline{A}$ に対し~
$P(\overline{A})=1-P(A)$
[[&ref(http://kamelink.com/public/2013/16.5-13%E5%8C%97%E...
実は,A,Bの玉の取り出す確率は,玉を取り出す順序に関係し...
**(216) 最大値・最小値 [#e2ef640a]
//16.5-16山口大・農・共獣・教育・経済・国総2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/16.5-16%E5%B1%B1%E...
条件を満たす目の出方を正しく数えましょう.最大値がMで最小...
//16.5-17京都大・文5.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E4%BA%AC%E...
さいころをn回振るときの出た目の最大値がMであるということ...
**(217) 独立な試行 [#wd2ef01f]
2つの試行S,Tが互いに他方の結果に影響を与えないとき,~
SとTは独立であるという.
2つの独立な試行S,Tを行うとき,Sでは事象$A$ が起こり,~
Tでは事象$B$が起こるという事象を$C$とすると,事象Cの確率は
$P(C)=P(A)P(B)$
である.
//16.5-17福岡大・工1-3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E7%A6%8F%E...
各対戦は独立な試行です.~
後半はBがAに負けるかA以外にの人に負けるかで場合分けします.
//16.8-17弘前大・理工(数学)6.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E5%BC%98%E...
6の目が出た回で試行は終了します.~
はじめての6が何回目で出るかで場合分けしましょう.
**(218) 反復試行 [#l218d9e7]
同じ条件のもとで同じ試行を何回か繰り返し行うとき,各回の...
このような試行を 反復試行 という.
1回の試行で事象Aが起こる確率をpとする.
この試行をn回繰り返す反復試行において,
Eがちょうどr回起こる確率は
$_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$
である.
//16.8-17茨城大・後工1-7.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E8%8C%A8%E...
得点が3点となる回数で場合分けするとよいでしょう.
//16.8-17佐賀大・教育・農3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%BD%90%E...
(1)表裏の出る回数を把握しましょう.~
(2)表裏の出る回数は(1)と同じです.あとは条件を満たす移動...
これはグラフを利用すると説明しやすいでしょう.
//16.8-17九州大・後理(数)4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%B9%9D%E...
1回のサイコロ投げにおいて移動は3通りあります.~
n回後のPの座標と3種類の移動の回数についての連立方程式を作...
(3)のQ(k)は条件付き確率です.
**(219) 条件付き確率,確率の乗法定理 [#xcb6d8c9]
事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率を,~
事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件付き確率と...
$P_A(B)$ と表す.
$P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A...
である.これにより次の等式が得られる.
$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ (確率の乗法定理)
//16.6-17明治大・総合数理3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E6%98%8E%E...
条件付き確率ですが,これは結果がわかったときに,それより...
//16.6-17関西学院大・商・神・国際・教育・政策1-2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E9%96%A2%E...
条件付き確率(原因の確率)のオンパレードです.
**(220) 確率の漸化式 [#n20ea224]
n回目に事象$E$が起こる確率を $p_n$ とすると n+1 回目に $E...
(i) n回目に $E$ が起こって, n+1 回目に $E$ が起こる
または
(ii) n回目に $E$ が起こらず, n+1 回目に $E$ が起こる
のいずれかであるり
$p_{n+1}=a p_n+b(1-p_n)$
の形で表すことができる.
//10.7-17甲南大・理工・知能・フロ2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E7%94%B2%E...
確率と漸化式の融合問題です.~
n回目からn+1回目の状況変化を式で表しましょう.
//10.7-17北海道大・文3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E5%8C%97%E...
(1)n秒後からn+1秒後の状況変化を式で表しましょう.~
(2)2項間漸化式を解きます.
終了行:
#author("2018-07-19T10:12:55+09:00","","")
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前期 XH§2~
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[[(209)〜(213) 順列・組合せ:http://kamelink.com/exam/ind...
[[(214)〜(220) 確率:http://kamelink.com/exam/index.php?%...
問題文を''クリック''すると解答をみることができます.
#contents
**(214) 確率の定義 [#q63129f4]
ある試行において,
起こり得る結果の全体を集合 $U$ で表し,
$U$ で表される事象を''全事象''という.
全事象は必ず起こる事象である.
また,すべての事象は $U$ の部分集合で表すことができる.
とくに,$U$ の1個の要素だけからなる集合で表される事象を''...
根元事象のどれもが同じ程度に起こると期待できるとき,
根元事象は''同様に確からしい''という.
ある試行において,
全事象 $U$ の根元事象の個数は,$n(U)=N$ であり,
どの根元事象も同様に確からしいとする.~
事象 $A$ の根元事象の個数を $n(A)=a$ とするとき,
事象 $A$ の確率を $\frac{a}{N}$ で定め,$P(A)$ と書く.す...
$P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{a}{N}$
である.
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.4-17%E5%B0%8F%E...
袋の中の玉を等確率に取り出すように玉をすべて区別しましょ...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/16.4-16%E5%AD%A6%E...
与えられた状況を的確にとらえましょう.場合分けが多くなっ...
**(215) 確率の基本性質 [#a0e110f7]
(1) 全事象 $U$ の部分集合 $A$ に対して~
$0\leq P(A)\leq 1$, $P(\empty)=0$ ($\empty$は空集...
(2) 事象 $A$,$B$ に対し~
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
特に $A$,$B$ が互いに排反のとき~
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
(3) $A$ の余事象 $\overline{A}$ に対し~
$P(\overline{A})=1-P(A)$
[[&ref(http://kamelink.com/public/2013/16.5-13%E5%8C%97%E...
実は,A,Bの玉の取り出す確率は,玉を取り出す順序に関係し...
**(216) 最大値・最小値 [#e2ef640a]
//16.5-16山口大・農・共獣・教育・経済・国総2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/16.5-16%E5%B1%B1%E...
条件を満たす目の出方を正しく数えましょう.最大値がMで最小...
//16.5-17京都大・文5.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E4%BA%AC%E...
さいころをn回振るときの出た目の最大値がMであるということ...
**(217) 独立な試行 [#wd2ef01f]
2つの試行S,Tが互いに他方の結果に影響を与えないとき,~
SとTは独立であるという.
2つの独立な試行S,Tを行うとき,Sでは事象$A$ が起こり,~
Tでは事象$B$が起こるという事象を$C$とすると,事象Cの確率は
$P(C)=P(A)P(B)$
である.
//16.5-17福岡大・工1-3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E7%A6%8F%E...
各対戦は独立な試行です.~
後半はBがAに負けるかA以外にの人に負けるかで場合分けします.
//16.8-17弘前大・理工(数学)6.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E5%BC%98%E...
6の目が出た回で試行は終了します.~
はじめての6が何回目で出るかで場合分けしましょう.
**(218) 反復試行 [#l218d9e7]
同じ条件のもとで同じ試行を何回か繰り返し行うとき,各回の...
このような試行を 反復試行 という.
1回の試行で事象Aが起こる確率をpとする.
この試行をn回繰り返す反復試行において,
Eがちょうどr回起こる確率は
$_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$
である.
//16.8-17茨城大・後工1-7.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E8%8C%A8%E...
得点が3点となる回数で場合分けするとよいでしょう.
//16.8-17佐賀大・教育・農3.tex
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(1)表裏の出る回数を把握しましょう.~
(2)表裏の出る回数は(1)と同じです.あとは条件を満たす移動...
これはグラフを利用すると説明しやすいでしょう.
//16.8-17九州大・後理(数)4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%B9%9D%E...
1回のサイコロ投げにおいて移動は3通りあります.~
n回後のPの座標と3種類の移動の回数についての連立方程式を作...
(3)のQ(k)は条件付き確率です.
**(219) 条件付き確率,確率の乗法定理 [#xcb6d8c9]
事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率を,~
事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件付き確率と...
$P_A(B)$ と表す.
$P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A...
である.これにより次の等式が得られる.
$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ (確率の乗法定理)
//16.6-17明治大・総合数理3.tex
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条件付き確率ですが,これは結果がわかったときに,それより...
//16.6-17関西学院大・商・神・国際・教育・政策1-2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E9%96%A2%E...
条件付き確率(原因の確率)のオンパレードです.
**(220) 確率の漸化式 [#n20ea224]
n回目に事象$E$が起こる確率を $p_n$ とすると n+1 回目に $E...
(i) n回目に $E$ が起こって, n+1 回目に $E$ が起こる
または
(ii) n回目に $E$ が起こらず, n+1 回目に $E$ が起こる
のいずれかであるり
$p_{n+1}=a p_n+b(1-p_n)$
の形で表すことができる.
//10.7-17甲南大・理工・知能・フロ2.tex
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確率と漸化式の融合問題です.~
n回目からn+1回目の状況変化を式で表しましょう.
//10.7-17北海道大・文3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E5%8C%97%E...
(1)n秒後からn+1秒後の状況変化を式で表しましょう.~
(2)2項間漸化式を解きます.
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