数学I・Aチェック&リピート
多面体 ← 第6章 整数 : 倍数・約数最大公約数,最小公倍数


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倍数・約数

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類題演習

約数

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約数の個数,総和についての基本問題です.

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20220を素因数分解します.
途中,まだ分解できるか否かで悩まされることもあります.
例えば337は素数ですか?合成数ですか?

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まずは素因数分解しましょう.

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整数を素因数分解したときの約数のあり方を絞っていきましょう.

倍数

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6の倍数,8の倍数,24の倍数.(3)では対偶を考えましょう.

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連続した3整数の積をつくるか,3で割った余りで場合分けして調べるかでしょう.

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連続したk個の整数の積はkの倍数であることを利用しましょう.

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「504」 を素因数分解することにより,n の因数が絞られます.

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連続した3つの整数の積は6の倍数です.

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(1)は11の倍数であるための必要十分条件です.
(2) (Nの5乗)−N が5の倍数であることを示すことになります.
連続した5整数の積が現れるとうれしいのですが….

素数

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(2)はカタラン数と呼ばれるものです.
(3)「すべて求めよ.」とあるので,nの範囲は絞れるはずで,
大きなnは範囲から外れるはずです.

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(1)k=2,3,5,7,11,…と素数を代入してみると様子が見えてきます.
(2)は(3)のヒントでしょう.(3)は(2)を無視して背理法を用いることも可能です.

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a^n-b^n の因数分解と対偶を使います.

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pが小さいときは具体的に p^4+14 を計算できますが,いつまでもこれを続けることはできません.
p^4+14 は素数でないことを示すのだから,pがある程度大きくなったときには,
p^4+14 が2で割り切れないか,3で割り切れないか,…と考えてみましょう.

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(1)分母分子の因数1個ずつのペアを考え,n≧k+2を利用しましょう.
(1)は(2)のヒントです.

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右辺は因数分解できます.

種々の問題

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(1)は(3)のヒント.
(2)はnを3で割った余りで分類しながらすべての場合を議論しましょう.
(3)はf(n)を素因数分解したときの因数のあり方を調べましょう.

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(1)は(3)のヒント.
(2)はnを3で割った余りで分類しながらすべての場合を議論しましょう.
(3)はf(n)を素因数分解したときの約数のあり方を絞っていきましょう.

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(3)までは基本問題です.(4)はコツコツ数えていきましょう.

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互いに素をテーマにした問題です.
(2)まで標準.(3)(4)の論証は差がつきます.

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1からNまでの整数のうちpの倍数であるものの個数はN/pの整数部分(Nをpで割ったときの商)ですが,
これを[N](ガウス記号)と表すことにしましょう.

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(1)は公式として覚えている人もいるでしょう.
(2)は(1)の応用です.


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Last-modified: 2021-09-12 (日) 14:03:19 (41d)