数学II・Bチェック＆リピート　第1章　§1式と証明　10.不等式の証明

問題文をクリックすると解答をみることができます．

不等式の証明 †

a，bが正である条件はどこで使われているのでしょう？

（３）は式をどのように見るかにより解法が変わります．

(1)ｘ＋ｙ＋ｚ，ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘが現れる等式を利用しましょう．

(左辺)-(右辺)≧０を示しましょう．(3)では(1)の利用を考えましょう．

(3)，(4)はf(x)=0の判別式を利用しましょう．

(左辺)ー(右辺)≧0を示しましょう．

R（逆数の相加平均の逆数）は調和平均と呼ばれています．

(1)は相加平均・相乗平均の関係を用いましょう．
(2)はどうしましょう．逆数の算術平均の逆数は調和平均と呼ばれています．

逆数の算術平均の逆数は調和平均と呼ばれており，
正の数について(相加平均)≧(相乗平均)≧(調和平均)が成り立ちます．

(1)はコーシー・シュワルツの不等式とよばれています．
等号成立条件も含めて覚えておくとよいでしょう．
証明は (左辺)-(右辺)≧ 0 を示せばよいのですが，ベクトルの内積にもち込むこともできます．
(3)は(1)，(2) との関係を探ります．

(１)の不等式はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれています．
(２)では(１)を利用しますが，等号成立条件が必要になります．
(１)の等号成立条件の確認はは少々厄介です．

これはコーシー・シュワルツの不等式とよばれています．
不等式の証明において等号の成立条件をいちいち示す必要はありませんが
(求められれば話は別)，今回の等号成立条件は意外に厄介です．

凸関数についての問題です．
(2)2個の数で成り立つ不等式は，4個，8個，16個，…でも成り立ちます．
これを数学的帰納法で示します．
(3)で突如積分．さてどうするか．

f(ｘ)が凸関数であることにより得られる不等式であり，イェンゼンの不等式と呼ばれています．