数学IIIチェック＆リピート　第5章　§1積分の計算　14．定積分と不等式

数学IIIチェック＆リピート
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定積分と不等式 †

類題演習 †

(1)は-1≦sin x≦1から出発しましょう．(2)は部分積分を利用しましょう．

(４)では(１)(２)(３)の利用を考えます．

関数の増減から定積分(面積)を考えて不等式をつくります．

eのｘ乗の0≦ｘ≦1における展開式を問うています．

(１)(２)は(３)のヒントです．

ｙ＝１/ｘ（ｘ＞０） が単調減少であることを利用して不等式をつくりましょう．

設問の流れにのって進みましょう．

f(ｘ)はg(ｘ)の2階微分で現れます．

面積を利用して log２ をはさむ不等式を誘導しています．計算量は多いです．

関数の単調性を利用して不等式をつくりましょう．

(３)はメルカトール級数(５)はライプニッツ級数と呼ばれています．

はさみうちの原理が使われます．

(１)の不等式を(３)で使うわけではありません．

(１)，(２)の誘導が(３)で効いてきます．

(２)では(１)を利用してはさみうちの原理を用いましょう．

(1)(2)あわせてできる sin x を x の1次式ではさむ不等式はジョルダンの不等式と呼ばれています．

誘導にのりながら進んでいきましょう．

最後までたどり着くのは辛いかもしれません．(２)を乗り越えられるか？

最後までたどり着くのは辛いかもしれません．(２)，(４)を乗り越えられるか？

曲線で囲まれた図形の面積と接線で囲まれた図形の面積の大小比較により不等式をつくりましょう．

微分の不等式への応用，定積分と不等式について問われています．

微分の不等式への応用，定積分と不等式について問われています．

得られた結果の一般化も考えてみましょう．

(１)は置換積分です．(２)第1の不等式を示した後はｘの置き換えを考えましょう．

(１)はｅ＾aの展開式であり，積分で表された剰余項が付いています．
(３)では自然対数の底ｅを評価しています．

1260＝2×630です．(１)(２)と(３)のつながりを考えましょう．

定積分と不等式，無限級数の融合問題です．ハサミウチの原理も絡んでいます．

自然対数の底 e を積分で定義しています．e の定義はいろいろです．

(４)は2つの図形の面積を比較して不等式をつくります．

(２)は(１)を利用します．

(１)(２)はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれています．等号成立条件は結構面倒です．