数学IIIチェック＆リピート
パラメータ表示された曲線と面積 ← 体積(回転体) → 体積(非回転体)

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体積(回転体) †

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類題演習 †

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計算ミスに注意しましょう．

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まずは接点の座標を求めましょう．

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(３)は(４)のヒントです．

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y軸まわりの回転体の体積が問われています．

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体積計算で差がでそうです．

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(２)で極値であることを増減表で示すか，ｙ’’を利用するか．

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積分変数の扱いが問われています．

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傾き 1 の直線のまわりの回転体の体積です．

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切り口は円の周および内部です．

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(１)(２)(３)は(４)の準備です．

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体積の立式に困ることはないでしょう．あとは計算力が試されます．

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Cは「カッシーニの卵形線」と呼ばれている曲線です．

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(３)の積分がヤマでしょう．

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回転軸と垂直な平面による切り口を考えましょう．

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半径ｒの値による場合分けが必要です．

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(２)を利用してバームクーヘン型の積分公式を導きます．

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(２) 増減表をかかなくても「f’=0 と f''の符号」で極値を判定することができます．

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x軸のまわり，y軸のまわりの回転体の体積を問うています．

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傾き -1 の直線のまわりの回転体の体積です．

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(３)の積分計算をどのように処理するか？

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誘導にのりながら進みましょう．

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接線，体積，最小値と微分法，積分法の基本事項が問われています．

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(２)は頻出問題です．(３)では部分積分を繰り返します．計算力が問われています．

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微分(微分可能性，最大値)と積分(体積)の融合問題となっています．

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(２)回転体の切り口は，もとの図形の切り口を回転した図形です．

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(４)は(５)の計算のヒントになっています．

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(１)は2次方程式の解の配置，(２)はy軸まわりの回転体の体積です．確実に得点したい問題です．

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体積と最小値を問う微積混合の標準問題です．

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回転面を回転させたときの通過領域の体積とは凝った問題ですね．
回転軸に垂直な平面による切り口を考えていきましょう．

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(１)内心の定義を確認しておきましょう．
(２)パラメータ表示のまま体積計算するか，
ｙ＝ｆ（ｘ）の関係式に直して体積計算するかわかれます．

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面積，体積を通して積分の計算力が問われています．

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教科書では例題として登場する問題です．

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共通接線と回転体の体積を組み合わせた必須問題です．

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y=x のまわりに回転して得られる回転体の体積が小問のひとつです．
かなりの計算力が要求されていることが分かります．

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(１)は(２)の準備です．体積は２曲線の交点のｘ座標を求めることから始めましょう．

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回転体の断面はもとの図形の切り口を回転させてできる図形です．

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