東北大学のバックアップ(No.3) - PukiWiki

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年度別・分野別 †

理系年度別　/ 理系分野別

文系年度別　/ 文系分野別

2016年 †

東北大出題意図(6月～10月)　/ 出題意図

理系・前期
第1問　数A(平面幾何)　垂心が垂足三角形の内心であることに関する問題
第2問　数B，A(数学的帰納法，整数)　を満たす素数の組 $(p,\quad q)$
第3問　数A(確率)　サイコロ投げで直角三角形，鈍角三角形ができる確率
第4問　数III(複素数)　複素数の極形式と3次方程式の解と係数の関係　 /青空学園
 第5問　数A，I(2次関数)　空間における2円の面積の和の最大値
第6問　数III(定積分)　定積分で表された関数の最大値と最小値
理系(理学部)・後期
第1問　数B(平面ベクトル)　 $\vec{\mathrm{OA}_j}=\vec{\mathrm{OA}_k}+\vec{\mathrm{OA}_l}$ を満たす円周上の点 $\mathrm{A}$ について
第2問　数B(確率と漸化式)　ウイルスの感染拡大に関する3項間漸化式
第3問　数A(確率)　7個のサイコロによる条件付き確率
第4問　数III(楕円)　楕円上の五角形の面積の最大値
第5問　数III(複素数平面)　4点が同一円周上にあるための条件
第6問　数III(積分)　定積分 $\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi}(x^2-a\cos 2x)^2\,dx$ の最小値

2015年　入試課程変更(数C廃止) †

理系・前期
第1問　数III(2次曲線)　楕円の法線と座標軸で囲まれた三角形の面積　 /青空学園
 第2問　数II(微分)　3次関数のグラフの接線　 /青空学園
 第3問　数A(確率)　2次方程式の解についての確率　 /青空学園
 第4問　数III(積分・極限)　定積分の不等式評価と極限　 /青空学園
 第5問=文2　数A(積分)　三角形を折り曲げてできる立体の体積　 /青空学園
 第6問　数A，B(整数)　「--連続和」で表される整数の個数　 /青空学園

理系(理学部)・後期
第1問=文2　数II(微分)　2つの放物線に接する2本の接線の交点　
第2問　数II(図形と方程式)　三角形と円の共有点　
第3問　数A(確率)　サイコロの目により決まる値 $ad\pm cd$ の確率　
第4問　数III(微分)　関数方程式により決まる関数と微分可能性　 /青空学園
 第5問　数II(複素数)　実部と虚部がどちらも整数である複素数　 /青空学園
 第6問　数III(積分)　定積分と不等式および極限　 /青空学園

2014年 †

理系・前期
第1問　数III，I(方程式)　分数関数の値域，2次方程式の解の配置　
第2問　数B(空間ベクトル)　平行六面体の切り口の面積　
第3問=文3　数A(確率)　数字が書かれた玉を取り出すときの確率　
第4問　数C(1次変換)　1次変換による三角形の移動　
第5問　数III(積分)　定積分の計算　
第6問　数III，B(微分)　微分法の不等式への応用，数学的帰納法

理系(理学部)・後期
第1問　数C(1次変換)　直線の像　
第2問　数B(空間ベクトル)　線分と三角形の共有点　
第3問　数III(数列の極限)　格子点の個数と面積の比の極限　
第4問=文3　数A(場合の数)　長方形の板の塗り分け方　
第5問　数II(面積)　3次関数，2次関数のグラフで囲まれた図形の面積　
第6問　数III(微分)　双曲線と接線，軸で囲まれた図形の面積

2013年 †

理系・前期
第1問　数II(方程式)　3次方程式の解と係数の関係と2つの3次方程式の共通解　 /kamelink /青空学園
 第2問=文2　数B(空間ベクトル)　四面体の体積　 /青空学園
 第3問　数A(確率)　サイコロの目の和によるゲームと確率　 /青空学園
 第4問　数III(積分)　積分の計算と極限(ハサミウチ) 類題13年第4問　 /kamelink /青空学園
 第5問　数C(1次変換)　回転移動による点の像P と原点との距離OP　 /青空学園
 第6問　数III(体積)　非回転体の体積　 /青空学園

理系(理学部)・後期
第1問　数II(方程式・三角関数)　2次方程式の解と三角関数　
第2問　数B(空間ベクトル)　四面体における三角形の面積　
第3問　数C(いろいろな曲線)　双曲線と直線の交点の個数　
第4問=文3　数A(反復試行)　数字の和が3の倍数となる確率　
第5問　数III(数列の極限)　和と一般項および無限和　
第6問　数III(微分)　円と三角形がつくる図形の面積の最小値

2012年 †

理系・前期
 第1問　数II(領域)　2つの媒介変数で表された点の動く範囲
第2問　数C(1次変換)　対称移動の合成，回転移動の積
第3問=文3　数A(期待値)　袋A，Bから取るカードの数字が一致する回数の期待値，回でカードがすべて取り除かれる確率　青空学園
 第4問　数III(積分)　 $f(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos|t-x|}{1+\sin|t-x|}\,dt~\qquad(0\leq x\leq \pi)$ の最大値，最小値
第5問　数III(微分)　AB を直径とする円上の動点 P と P により決まる線分 AB 上の点 Q を結ぶ線分 PQ の長さの最大について
第6問　数III(数列の極限)　 $a_1,~\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}}$ で定まる数列 $\{a_n\}$ についての不等式と極限　青空学園

理系(理学部)・後期
 第1問　数II(領域)　領域における最大最小
第2問　数III(面積)　放物線で囲まれた図形の面積が最大となるの値
第3問　数B(空間ベクトル)　空間における線分の長さの和 $\small 2\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$ の最小値
第4問　数A(確率)　訪問点となる確率
第5問　数II(複素数)　ド・モアブルの定理
第6問　数III(積分)　区分求積，内接円の面積の総和

文系・前期
 第1問　数II(積分)　上の2点における法線と面積
第2問　数II(三角関数)　 $f(x)=\left|2\cos^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin x+\sqrt{3}\cos x-\frac{5}{4}\right|$ の値域
第3問=理3　数A(期待値)　袋A，Bから取るカードの数字が一致する回数の期待値，回でカードがすべて取り除かれる確率
第4問　数B(ベクトル)　内積で表された条件を満たすベクトルとベクトルの大きさのとりうる値の範囲

文系(経済学部)・後期
 第1問　数II(領域)　領域における最大最小
第2問　数II(不等式)　分数関数の値域
第3問　数A(確率)　カードの入れ換えによる場合の数・確率
第4問　数B(空間ベクトル)　空間における線分の長さの和 $\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$ の最小値

2011年震災のため後期試験は中止 †

理科問題
第1問　数II(不等式)　「すべての」，「いずれかの」に対して成り立つ不等式 $y\leq 2ax-a^2+2a+2$ について
第2問　数III(面積)　媒介変数表示を求め，面積を計算する
第3問　数A(確率)　赤玉3個，白玉7個の非復元事象における確率
第4問　数B(ベクトル)　「どのような $\theta$ 」をとっても垂直にならないための条件
第5問　数II(方程式)　複素数で表された方程式
第6問　数C(1次変換)　像P が点 (10,10) に最も近くなるときのの値を求める

理系(後期)　震災のため中止

文系(前期)
第1問　数II(指数不等式)　指数不等式が解をもつためのの範囲．　
第2問　数II(平面ベクトル)　平面ベクトルと三角形の面積比．　
第3問　数A(確率)　赤玉3個，白玉7個の非復元事象における確率．　
第4問　数II(積分)　放物線と2本の接線で囲まれる部分の面積．

文系(後期)　震災のため中止

2010年 †

理系(前期)
第1問　数II(不等式)　 3次関数を用いた不等式の成立条件．青空学園
 第2問　数II(微分)　 3次関数の接線の本数．
第3問　数A(確率)　 5桁の整数をつくるときの確率．
第4問=文系第4問　数B(ベクトル) 　空間ベクトルと内積(垂直二等分面)．
第5問　数III(積分)　回転体の体積と微分．　
第6問　数C(点の移動)　正6角形と点の移動．

理学部(後期)　
第1問=文1　数II(不等式の証明） $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_j)^2\leq \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_j)^2$ 　/青空学園
第2問　数III(数列の極限）の解 $\alpha,~\beta$ に対し $\alpha^n$ に最も近い整数と $\alpha^n$ との差の極限
第3問　数C(1次変換)　回転移動と対称移動の合成
第4問　数III(数列)　 $f(x)=\sqrt{x+2}$ と $x_0=0,~x_n=f(x_{n-1})$
第5問　数II(三角関数)　 $\cos(\pi\cos x)=\cos x$ を満たすの個数
第6問　数III(体積)　 $(x-1)^2+y^2\leq 1,~0\leq x\leq 1,~y\geq 0$ の平行移動と90度回転

文系(前期)
第1問　数II(不等式)　 3次関数を用いた不等式　
第2問　数II(図形と方程式)　放物線の法線に関する直線の対称移動　
第3問　数A(確率)　数直線上を回移動するときの確率　
第4問=理系第4問　数B(ベクトル)=理系第4問空間ベクトルと内積(垂直二等分面)

文系(後期)　
第1問=理1　数II(不等式の証明） $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_j)^2\leq \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_j)^2$ 　/青空学園
 第2問　数B(平面ベクトル)　三角形の外接円と内積
第3問　数A(期待値)　連勝する回数の期待値
第4問　数II(定積分)　定積分で表された関数

2009年 †

出題意図　（1/6公式と呼ばれる積分式は公式として認められたようだ）

理系(前期)
第1問　数II(式と証明)　3元3次の等式および不等式 $a^3+b^3+3abc\geq c^3$ の証明　
第2問　数I(2次不等式)　枚の長方形をのりづけして得られる長方形の面積による2次不等式　
第3問　数A(確率)　青玉7個，赤玉3個を順に取り出すときの確率および期待値
第4問　数III(積分法)　 $f(\theta)=\max\{\sin\theta,\ \sin(\theta-2a)\}$ の積分 $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(\theta)\,d\theta$ と $0\leq a\leq \frac{\pi}{2}$ でのの最大値
第5問　数C(行列)　を満たす行列の決定
第6問　数III(微分法)　方程式の実数解の個数

理系(後期)　
第1問　数B(平面ベクトル)　1次独立と3点の一致条件
第2問=文2　数A(確率)　アメ玉3個を取り出すときの確率と期待値
第3問　数II(方程式)　 $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$ 　 /kamelink
第4問　数II(式の計算)　3次式を2次式で割るときの余りが一致するための2次式の条件
第5問　数III(微分)　と $y=\log(x-p)+q$ が一点のみを共有する
第6問　 $y=\sin x$ と $y=\sin ax$ が囲む図形の面積

文系(前期)
第1問　数II(指数)　すべての実数に対して成り立つ指数不等式
第2問　数B(ベクトル)　直角三角形の一辺上を動く点と内積の値
第3問　数A(確率)　青玉7個，赤玉3個を順に取り出すときの確率
第4問　数I(2次不等式)　が領域内にあるためのの条件

文系(後期)　
第1問　数II(式の計算)　3次式を2次式で割るときの商と余りが一致するための2次式の条件
第2問=理2　数A(確率)　アメ玉3個を取り出すときの確率と期待値
第3問　数II(積分)　2つの放物線で囲まれた図形の面積
第4問　数II(図形と方程式)　3つの円の共通部分について

2008年 †

理系(前期)
第1問　数II(多項式)　 3つの条件をみたす多項式の次数と係数決定　
第2問　数B，III(ベクトル，数列，極限)　等比数列となる内積の総和と極限　
第3問　数II(微分法)　四面体の体積の最大値　
第4問　数A(確率)　数直線上を原点に向かって移動する点の確率
第5問　数C，II(行列，三角関数)　行列で与えられた等式と三角方程式の解の存在条件
第6問　数II(積分法)　放物線と円とで囲まれた図形の面積と極限

理系(後期)　
第1問　数B(平面ベクトル)　三角形の1辺上に3点が順序を伴い並ぶ条件
第2問　数II(面積)　放物線と平行四辺形により囲まれた部分の面積
第3問　数II(対数)　対数不等式， $\log_{10}7$ の値
第4問　数B(数列)　分数漸化式 $a_{n+1}=\frac{4a_n+1}{2a_n+3}$ の一般項
第5問　数III(数列)　放物線と軸とで囲まれた領域内の格子点の総数と極限
第6問　数II(方程式・整数)　虚数解をもつ整数係数の3次方程式

文系(前期)
第1問　数II(微分)　 3次関数の極大となる点の軌跡　
第2問　数II(多項式)　 3つの条件をみたす多項式の係数決定　
第3問　数B(ベクトル，数列)　等比数列となる内積の総和　
第4問　数I(確率)　数直線上を原点に向かって移動する点についての確率

文系(後期)　
第1問　数I(グラフ)　との交点の個数と座標
第2問　数II(面積)　放物線と平行四辺形により囲まれた部分の面積
第3問　数I(確率)　数直線上を移動する点の確率についての確率
第4問　数II(三角関数)　不等式 $\cos\theta\leq \sin 2\theta$ の成立確認

2007年 †

出題意図　(「数学の出題範囲および答案作成についての一般的注意」も掲載されている)

理系(前期)
第1問=文1　数B(漸化式と整数)　整式の割り算により，連立漸化式をつくり，公約数で素数となるものを求める．　
第2問=文2　数II(三角関数)　角の二等分線と三角比および角の大小比較．　
第3問　数III(微分法)　対数方程式 $\frac{1}{x^n}-\log x-\frac{1}{e}=0$ と解の極限．　
第4問　数III(微分法)　正方形内の点 $(1,\ 2)$ を通る線分の長さの最大値と最小値．　
第5問　数III(積分法)　円筒面を回転してできる立体の体積．　
第6問　数III(積分法)　定積分 $\displaystyle I_n(a)=\int_{0}^{a}x^n\sqrt{1+x}\,dx$ による漸化式と極限．

理系(後期)　
第1問　数II(三角関数)　方程式 $\sin^3 x+\cos^3 x+\sin x=2$
第2問　数B(平面ベクトル)　平行四辺形におけるベクトルの内積
第3問　数I・II(確率，多項式)　合格する確率はの多項式
第4問　数I(方程式)　直線と放物線が2点で交わる
第5問　数III(微分)　不等式を満たす正数の範囲
第6問　数C(楕円，極限)　 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 上の個の点と極限

文系(前期)
第1問=理1　数B(漸化式と整数)　整式の割り算により，連立漸化式をつくり，公約数で素数となるものを求める．　
第2問=理1　数II(三角関数)　角の二等分線と三角比および角の大小比較．　
第3問　数I・II(直線，2次関数)　 $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部を点Pが動くときの $\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$ の最小値．　
第4問　数II(積分)　 $\displaystyle f(x)=x^2-x\int_0^2 |f(t)|\,dt$ を満たすを求める．

文系(後期)　
第1問　数II(三角関数)　方程式 $\sin^3 x+\cos^3 x+\sin x=2$
第2問　数B(平面ベクトル)　平行四辺形におけるベクトルの内積
第3問　数II(領域)　三角形 $A,\ B$ 内を動く2点の和の全体
第4問　数I・II(確率，多項式)　合格する確率はの多項式

2006年　入試課程変更 †

出題意図　(「数学の出題範囲および答案作成についての一般的注意」も掲載されている)

理系(前期)
第1問　数II(図形と方程式)　円と直線とで囲まれた領域と動円の位置関係
第2問=文3　数B(ベクトル)　空間ベクトルの垂直および長さの計算
第3問　数A(確率)　独立試行の期待値，2人でくじ引きをするときの確率
第4問　数III(微分)　 $f(x)=x\sin\frac{\pi}{x}$ におけるの解についての考察
第5問　数C(行列)　3次の正方行列の積
第6問=文4　数II(積分)　2つの領域の共通部分の面積の最大値

理系(後期)　
第1問=文1　数II(整式)　多項式の互除法
第2問　数B(漸化式)　 $S_n=\frac{n}{3}(2p+a_n)$ を満たす $\{a_n\}$
第3問=文4　数I(期待値)　サイコロ投げの目の和の期待値
第4問　数III(微分)　 $f(x)=ax-(1+x)\log(1+x)-(1-x)\log(1-x)$ について
第5問
第6問

文系(前期)
第1問　数I(数と式)　それぞれ共通因数をもつ3つの多項式　
第2問　数A(確率)　番号が書かれた球3個を取り出すときの3つの番号それぞれの期待値　
第3問=理2　数B(ベクトル)　ひし形を折って作られた図形における垂直および長さの計算　
第4問=理6　数II(積分)　帯状の領域と放物線で囲まれた図形の面積の最大値

文系(後期)　
第1問=理1　数II(整式)　多項式の互除法
第2問　数II(対数)　が39桁となるときのと最高位の数字
第3問　数II(微分)　点 $(a,\ b)$ からに引いた2本の接線
第4問=理3　数I(期待値)　サイコロ投げの目の和の期待値

2005年 †

出題意図　(「数学の出題範囲および答案作成についての一般的注意」も掲載されている)

理系(前期)
第1問　数B(平面ベクトル)　平面ベクトルの垂直と長さの比による内積計算
第2問　数II(三角関数)　面積の等しい3つの三角形に分割される四角形
第3問　数I，III(確率，極限)　カードを取り出す試行での確率と期待値およびその極限
第4問　数II(積分)　3つの放物線により囲まれた図形の面積
第5問　数C，III(行列)　行列の漸化式，数列の収束条件
第6問　数III(微分)　分数関数が減少関数であるための条件，最大値

理系(後期)　
第1問　
第2問　数B(方程式)　4次方程式の4つの異なる複素数解
第3問　数A(確率)　B君がA君より先に赤玉を取り出す確率
第4問　数III(体積)　底面が楕円の4分の1である立体の体積
第5問
第6問

文系(前期)
第1問　数B(ベクトル)　平面ベクトルの垂直と長さの比による内積計算
第2問　数II(三角関数)　面積の等しい3つの三角形に分割される四角形
第3問　数I(確率)　6個の箱に置かれた3枚ずつ置かれた皿の移動における確率
第4問　数II(面積)　2つの放物線で囲まれる部分の面積の最小値

文系(後期)　
第1問
第2問
第3問　数A(確率)　B君がA君より先に赤玉を取り出す確率
第4問

2004年 †

理系(前期)
第1問　数B(平面ベクトル)　 $|\vec{a}|^2=1$ ， $|\vec{b}|^2=1$ ， $|\vec{b}-\vec{a}|^2=\frac{1}{2}$ のもとでの $|k\vec{a}+l\vec{b}|^2$ についての考察
第2問　数III(積分)　媒介変数表示された曲線と軸で囲まれる図形の面積，道のり
第3問　数III(数列)　等差数列，等比数列の個の数の相加平均，相乗平均と極限
第4問　数I(確率)　手作りのさいころの出る目の総和の確率
第5問　数B(複素数)　のもとでの，，についての考察
第6問　数C(行列)　2つの行列 $A,\ B$ により生成されるすべての行列

理系(後期)　
第1問　数II(面積)　2つの3次曲線で囲まれた図形の面積
第2問
第3問　数II(三角関数)　 $|a\sin x+\cos 2x|=2$ が解をもつの条件
第4問=文4　数A(場合の数)　7人が2台の自動車に分乗するときの組合せの総数
第5問　数III(面積)　媒介変数表示された双曲線の面積
第6問

文系(前期)
第1問　数II(接線，面積)　2つの放物線で囲まれる図形の面積の最大値・最小値
第2問
第3問
第4問　数I(確率)　3人でじゃんけんをするときの回目で勝者が決まる確率

文系(後期)　
第1問　数II(図形と方程式)　 $y=x^2-\frac{2}{\cos \theta}x+\frac{2+\sin 2\theta}{1++\cos 2\theta}$ の頂点の軌跡
第2問
第3問
第4問=理4　数A(場合の数)　7人が2台の自動車に分乗するときの組合せの総数

2003年 †

理系(前期)
第1問　数C(行列)　ある条件のもとでが成立する整数の組 $(m,\ n)$
第2問=文4　数II(三角関数)　 $y=-4\cos 3\theta + \cos 2\theta -\sqrt3 \sin 2\theta+2\cos\theta +2\sqrt3\sin \theta$ の最大値，最小値
第3問　数III(数列)　 $a_1=c,\ a_{n+1}=\sqrt{f(a_n)}$ で与えられた数列の極限(ハサミウチ)
第4問　数III(積分)　線分PQが通過してできる曲面を回転してできる立体の体積
第5問　数B(複素数平面)　3点 $1,\ \alpha,\ \alpha^2$ を通る実軸上に中心もつ円
第6問　数III(微分)　 $f(x)=(x+1)\log\frac{x+1}{x}$ が単調減少であることとを満たすの範囲

理系(後期)　
第1問　数III(微分)　 $f(x)=(e^x-e^{-x})^n$ の二項展開と
第2問　数B(空間ベクトル)　直方体の辺上を動く6点がつくる六角形
第3問=文4　数II(図形と方程式)　2つ円上の動点P，Qによる線分PQの中点の軌跡
第4問　数III(積分)　積分の計算と極限(ハサミウチ) 類題13年第4問
第5問　数III(関数)　 $y=e^{x-c}$ と逆関数のグラフの共有点の個数
第6問　数C(行列)　，， $A\neq O$ を満たす行列

文系(前期)
第1問　数I(不等式)　2つの不等式の解の共通部分 $A \cap B$ が空集合でないためのの範囲
第2問　数B(ベクトル)　 $\vec{\mathrm{DE}},\ \vec{\mathrm{EF}}$ が垂直である条件， $\vec{\mathrm{AD}},\ \vec{\mathrm{EF}}$ が垂直でないことの証明
第3問　数I(確率)　バス停Aに到着後バス停Cへ到着するまでにかかる時間の確率
第4問=理2　数II(三角関数)　 $y= -4\cos 3\theta + \cos 2\theta -\sqrt3 \sin 2\theta+2\cos\theta +2\sqrt3\sin \theta$ の最大値，最小値

文系(後期)　
第1問　円周上の4点を訪問する確率
第2問　2つの放物線で囲まれる部分の面積
第3問　数B(空間ベクトル)　直方体の辺上を動く6点について
第4問=理3　数II(図形と方程式)　2つ円上の動点P，Qによる線分PQの中点の軌跡

2002年 †

理系(前期)
第1問　
第2問　
第3問　
第4問　
第5問　
第6問

理系(後期)
第1問　
第2問　
第3問　
第4問　
第5問　
第6問

文系(前期)
第1問　
第2問　
第3問　
第4問

文系(後期)　
第1問　
第2問　
第3問　
第4問

2001年 †

理系(前期)
第1問　
第2問　
第3問　
第4問　
第5問　
第6問

理系(後期)　
第1問　
第2問　
第3問　
第4問　
第5問　
第6問

文系(前期)
第1問　
第2問　
第3問　
第4問

文系(後期)　
第1問　
第2問　
第3問　
第4問

2000年 †

理系(前期)
第1問　
第2問　
第3問　
第4問　
第5問　
第6問

理系(後期)　
第1問　
第2問　
第3問　
第4問　
第5問　
第6問

文系(前期)
第1問　
第2問　
第3問　
第4問

文系(後期)　
第1問　
第2問　
第3問　
第4問

1991年 †

理系(後期)
第4問　代幾(1次変換)　3点の像で決まる1次変換

1989年 †

理系(前期)
第5問　微積(微積混合)　面積の最大値