![[PukiWiki]](image/kame.png "[PukiWiki]")
#author("2018-07-14T16:48:36+09:00","","") #author("2018-07-15T09:27:35+09:00","","") [[FrontPage]] /[[kamelink>http://kamelink.com/]] [[方程式と複素数および複素数平面(1):http://localhost/pukiwiki1.5.0/?%CA%FD%C4%F8%BC%B0%A4%C8%CA%A3%C1%C7%BF%F4%A4%AA%A4%E8%A4%D3%CA%A3%C1%C7%BF%F4%CA%BF%CC%CC]]~ [[方程式と複素数および複素数平面(2):http://localhost/pukiwiki1.5.0/?cmd=edit&page=%CA%FD%C4%F8%BC%B0%A4%C8%CA%A3%C1%C7%BF%F4%A4%AA%A4%E8%A4%D3%CA%A3%C1%C7%BF%F4%CA%BF%CC%CC%282%29]]~ [[方程式と複素数および複素数平面(3):http://localhost/pukiwiki1.5.0/?%CA%FD%C4%F8%BC%B0%A4%C8%CA%A3%C1%C7%BF%F4%A4%AA%A4%E8%A4%D3%CA%A3%C1%C7%BF%F4%CA%BF%CC%CC%283%29]]~ //[[方程式と複素数および複素数平面(1):http://localhost/pukiwiki1.5.0/?%CA%FD%C4%F8%BC%B0%A4%C8%CA%A3%C1%C7%BF%F4%A4%AA%A4%E8%A4%D3%CA%A3%C1%C7%BF%F4%CA%BF%CC%CC]]~ //[[方程式と複素数および複素数平面(2):http://localhost/pukiwiki1.5.0/?cmd=edit&page=%CA%FD%C4%F8%BC%B0%A4%C8%CA%A3%C1%C7%BF%F4%A4%AA%A4%E8%A4%D3%CA%A3%C1%C7%BF%F4%CA%BF%CC%CC%282%29]]~ //[[方程式と複素数および複素数平面(3):http://localhost/pukiwiki1.5.0/?%CA%FD%C4%F8%BC%B0%A4%C8%CA%A3%C1%C7%BF%F4%A4%AA%A4%E8%A4%D3%CA%A3%C1%C7%BF%F4%CA%BF%CC%CC%283%29]]~ 問題文を"''クリック''"すると解答をみることができます． *複素数と図形 [#x61e9c49] 今回の目標は複素数の幾何的側面に慣れることです． 複素数の和・差はベクトルとみることができ，~ 積により回転と相似変換を扱うことができ，~ 商を極形式で表すことにより 2つのベクトルの大きさの比と偏角をみることができます． これらを道具として，円・直線・三角形・四角形といった図形も扱えるようになりましょう． //[[(2)複素数と図形:http://kamelink.com/exam/index.php?%282%29%CA%A3%C1%C7%BF%F4%A4%C8%BF%DE%B7%C1]] #contents //*高校で学ぶ複素数 [#gf71078a] //-数学II「複素数と方程式」 //複素数が初めて現れるのは数学IIである．扱う項目は //--複素数：虚数単位$i$の導入，複素数 $a+bi$ の相等，加減乗除．~ //--2次方程式の解と判別式：判別式＜０のとき，数学Iでは「実数解なし」だが，数学IIでは「異なる２つの虚数解をもつ」となる．~ //--解と係数の関係：２次方程式の解と係数の関係 //--剰余の定理と因数定理：「研究」で組立除法を扱っている． //--高次方程式：３次，４次の方程式，複２次も含む．実数係数の方程式では共役も解である．「発展」で３次方程式の解と係数の関係を扱っている． //-数学III「複素数平面」 //--複素数平面：実数倍，加法，減法のベクトル的側面．共役の性質，実数，純虚数であることと共役との関係．２点間の距離 //--複素数の極形式と乗法，除法：絶対値，偏角．乗法，除法と回転相似変換 //--ド・モアブルの定理：１のｎ乗根，$z^n=$(複素数) ． //--複素数と図形：分点公式．円の方程式．垂直二等分線．半直線のなす角．共線条件，垂直条件． **複素数のベクトル的側面 [#a78c7a9b] //1.9-02三重大・生物資源6.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2002/1.9-02%E4%B8%89%E9%87%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%94%9F%E7%89%A9%E8%B3%87%E6%BA%906problem.png,wrap,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2002/1.9-02%E4%B8%89%E9%87%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%94%9F%E7%89%A9%E8%B3%87%E6%BA%906.pdf]] 複素数のベクトル的側面を確かめる良問です． (1) βの偏角はαの共役の偏角と一致させているので，あとは大きさ(原点からの距離)です．~ 「|β|を用いて表せ」とありますから，β方向の単位ベクトルの|β|倍と考えるとよいでしょう．~ (2) C(γ)は直線ABと実軸との交点ですから，2直線を連立して求めることもできます．~ 問題の設定から実軸は∠BOAの二等分線でもあり，CはABをOA：OBに内分する点でもあります． 分点公式が利用できます．~ （γ-β）/(α-β)については， |β|で表されたβ，γを代入して整理するという手もありますが， 図形的な解釈をすると瞬殺できます． ----- 参考問題 ----- //1.9-17早稲田大・人間科学B4.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%BA%BA%E9%96%93%E7%A7%91%E5%AD%A6B4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%BA%BA%E9%96%93%E7%A7%91%E5%AD%A6B4.pdf]] zの存在範囲はベクトルと同じように斜交座標系を考えるとよいでしょう． [[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB3.pdf]] (1)三角形の面積公式の複素数版です．(1)，(2)ともに共役の計算に慣れておく必要があります．目標を立てて式変形していきましょう． **回転移動 [#j3e4b9f0] //1.9-16和歌山大・システム工6.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E5%92%8C%E6%AD%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E5%B7%A56problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E5%92%8C%E6%AD%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E5%B7%A56.pdf]] 平行移動と回転についての基本問題です．原点以外の点のまわりの回転も扱えるようにしましょう． 複素数の和・差は複素数平面では平行移動として捉えることができます．~ ベクトルの和・差をイメージするとよいでしょう．~ 点$(\cos \theta+i\sin \theta)z$は，点zを原点を中心として角$\theta$だけ回転した点です．~ 点B(β)の点A(α)を中心としてθ回転させた点C(γ)は， 回転の中心を原点にするために，~ βを-α平行移動して，θ回転する．この後αだけ平行移動することにより得られます． $\gamma=(\cos \theta +i\sin \theta)(\beta-\alpha)+\alpha$ すなわち $\gamma-\alpha=(\cos \theta +i\sin \theta)(\beta-\alpha)$ です． これは$\vec{AB}$をθ回転させると$\vec{AC}$が得られるということです． $-\frac{\pi}{2}<\theta\leq\frac{\pi}{2}$の条件はθを1つに絞るための条件です． ∠B$'$OA$'$は$\frac{\alpha}{\beta}$の偏角を調べましょう． ----- 参考問題 ----- //1.9-17福島大・後理工2.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E5%B7%A52problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E5%B7%A52.pdf]] 極形式での表現と図形的意味を繋ぎましょう． //1.9-17和歌山大・シス工5.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%92%8C%E6%AD%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E5%B7%A55problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%92%8C%E6%AD%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E5%B7%A55.pdf]] 回転して楕円の標準形を求める問題です．複素数平面上の点ｚを原点のまわりにθ回転させた点は(cosθ+i sinθ)z として求めることができます． **円の方程式 [#ef249b5f] //1.9-04京都大・後理系2.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2004/1.9-04%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E7%B3%BB2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2004/1.9-04%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E7%B3%BB2.pdf]] 与えられた不等式を主眼とするか， 「実数tが存在する」を主眼とするかで解法がわかることでしょう． 不等式を主眼とするなら，左辺を|α-β|の形に見直します． |α-β|≦1は線分αβの長さについての不等式であり，βを固定すると， αはβを中心とした半径1の円の周および内部を動きます． 「実数tが存在する」を主眼とするなら， α＝x＋yi(x，ｙは実数)とおいて， 与えられた不等式を平方し，tの2次不等式として処理しましょう． ----- 参考問題 ----- //1.9-17神奈川大・理・工1-6.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E7%A5%9E%E5%A5%88%E5%B7%9D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A51-6problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E7%A5%9E%E5%A5%88%E5%B7%9D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A51-6.pdf]] アポロニウスの円です． //1.9-17芝浦工大・工・シス理工・デザ工・建3-3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E8%8A%9D%E6%B5%A6%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E3%83%87%E3%82%B6%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%BB%BA3-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E8%8A%9D%E6%B5%A6%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E3%83%87%E3%82%B6%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%BB%BA3-3.pdf]] 実数であるための条件と円の方程式を求めています． **直線の方程式 [#v007e19e] //1.9-04大阪府大・中工1-1.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2004/1.9-04%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%BA%9C%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%B8%AD%E5%B7%A51-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2004/1.9-04%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%BA%9C%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%B8%AD%E5%B7%A51-1.pdf]] ベクトルでいうと，(1)は2点（通過点と方向ベクトル）が与えらえれたときの直線の方程式，~ (2)は通過点と法線ベクトルが与えられたときの直線の方程式となりますが，これを複素数で表せということです． P(z)がA(a)，B(b)を通る直線上にあるための条件は $\frac{z-a}{b-a}$が実数 P(z)がC(c)を通り，A(a)，B(b)を通る直線と直交する直線上にあるための条件は $\frac{z-c}{b-a}$が純虚数または0 ----- 参考問題 ----- //1.9-17徳島大・医・歯・薬2.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%BE%B3%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E8%96%AC2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%BE%B3%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E8%96%AC2.pdf]] 垂直2等分線，純虚数についての取扱いを問うています． //1.9-17北海道大・理3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%863problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%863.pdf]] (1)Pが△OABの外心である条件は「OP＝AP＝BP」です．αβ＝ｚをαだけの関係式として表しましょう．(2)αβ＝ｚを満たすα，βが存在するようなｚの条件を求めます． **共線条件・共円条件 [#w83b72b2] //1.9-16東北大・後理5.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%865problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%865.pdf]] 円周上の異なる4点α，γ，β，δがこの順に四角形をつくるとき， α，βはγ，δを隔離するといいます．~ 本問では１，−１がｚ，ｗを隔離しています． (1)の証明が終わったら， 4点α，γ，β，δが同一円周上にあるための必要十分な条件(共円条件)は α，βはγ，δを隔離するときは $\frac{(\alpha-\delta)(\beta-\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\beta-\delta)}$は負の実数 α，βはγ，δを隔離しないときは $\frac{(\alpha-\delta)(\beta-\gamma)}{(\alpha-\gamma)(\beta-\delta)}$は正の実数 であることを確かめておきましょう． (2)では，$\frac{1+z^2}{2}$の虚部が負であることを確認してから(1)を用いましょう． ----- 参考問題 ----- //1.9-17茨城大・工5-3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A55-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A55-3.pdf]] 3点が同一直線上にあるための条件は？ //1.9-99京都大・文系4.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/1999/1.9-99%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/1999/1.9-99%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB4.pdf]] //**$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ **三角形・四角形 [#y6280504] //1.9-16お茶の水女大・理(数)3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E3%81%8A%E8%8C%B6%E3%81%AE%E6%B0%B4%E5%A5%B3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86(%E6%95%B0)3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E3%81%8A%E8%8C%B6%E3%81%AE%E6%B0%B4%E5%A5%B3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86(%E6%95%B0)3.pdf]] (1)，(2)は，△$z_1z_2z_3$が正三角形である必要十分条件は$z_1+z_2+z_3=0$であること示しています．~ △$z_1z_2z_3$の重心は$\frac{z_1+z_2+z_3}{3}$であり，本問において△$z_1z_2z_3$の外心は0なので，~ 正三角形である必要十分条件は重心と外心が一致することであるを示せというわけです．~ 複素数を用いてこれを示しましょう． (3)では各辺および対角線の長さを調べてみましょう． ----- 参考問題 ----- //1.9-17弘前大・理工(数学)5.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%BC%98%E5%89%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5(%E6%95%B0%E5%AD%A6)5problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E5%BC%98%E5%89%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5(%E6%95%B0%E5%AD%A6)5.pdf]] Eを求めるとき，△ADE≡△ABCには同じ向きに合同であるときと逆向きに合同であるときの両方があることに注意しましょう． //1.9-05山形大・理4.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2005/1.9-05%E5%B1%B1%E5%BD%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%864problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2005/1.9-05%E5%B1%B1%E5%BD%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%864.pdf]] 三角形の相似条件，分点公式を確認しておきましょう． //1.9-16東京大・理4.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%864problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2016/1.9-16%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%864.pdf]] 鋭角三角形である条件を長さでとらえるか，角でとらえるかで解法が分かれます． //1.9-05京都大・理系3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2005/1.9-05%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2005/1.9-05%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB3.pdf]] α，β，γの対称式であることに着目して，α，β，γの間の関係を探りましょう． //1.9-17鹿児島大・理・工・医・歯7.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E9%B9%BF%E5%85%90%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF7problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.9-17%E9%B9%BF%E5%85%90%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF7.pdf]] 正方形をつくるためのｚとｗの関係(回転移動と相似変換)を式で表しましょう．
