#author("2018-07-14T16:30:21+09:00","","") #author("2018-07-19T10:12:55+09:00","","") [[FrontPage]] [[kamelink:http://kamelink.com/]] 前期 XH§2~ [[(201)〜(208) ベクトル:http://kamelink.com/exam/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB]]~ [[(209)〜(213) 順列・組合せ:http://kamelink.com/exam/index.php?%BD%E7%CE%F3%A1%A6%C1%C8%B9%E7%A4%BB]]~ [[(214)〜(220) 確率(工事中):http://kamelink.com/exam/index.php?%B3%CE%CE%A8]] [[(214)〜(220) 確率:http://kamelink.com/exam/index.php?%B3%CE%CE%A8]] 問題文を''クリック''すると解答をみることができます. #contents **(214) 確率の定義 [#q63129f4] ある試行において, 起こり得る結果の全体を集合 $U$ で表し, $U$ で表される事象を''全事象''という. 全事象は必ず起こる事象である. また,すべての事象は $U$ の部分集合で表すことができる. とくに,$U$ の1個の要素だけからなる集合で表される事象を''根元事象''という. 根元事象のどれもが同じ程度に起こると期待できるとき, 根元事象は''同様に確からしい''という. ある試行において, 全事象 $U$ の根元事象の個数は,$n(U)=N$ であり, どの根元事象も同様に確からしいとする.~ 事象 $A$ の根元事象の個数を $n(A)=a$ とするとき, 事象 $A$ の確率を $\frac{a}{N}$ で定め,$P(A)$ と書く.すなわち $P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{a}{N}$ である. [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.4-17%E5%B0%8F%E6%A8%BD%E5%95%86%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.4-17%E5%B0%8F%E6%A8%BD%E5%95%86%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2.pdf]] 袋の中の玉を等確率に取り出すように玉をすべて区別しましょう. [[&ref(http://kamelink.com/public/2016/16.4-16%E5%AD%A6%E7%BF%92%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%861problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2016/16.4-16%E5%AD%A6%E7%BF%92%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%861.pdf]] 与えられた状況を的確にとらえましょう.場合分けが多くなったときは余事象を考えてみるのも手です. **(215) 確率の基本性質 [#a0e110f7] (1) 全事象 $U$ の部分集合 $A$ に対して~ $0\leq P(A)\leq 1$, $P(\empty)=0$ ($\empty$は空集合), $P(U)=1$ (2) 事象 $A$,$B$ に対し~ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 特に $A$,$B$ が互いに排反のとき~ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (3) $A$ の余事象 $\overline{A}$ に対し~ $P(\overline{A})=1-P(A)$ [[&ref(http://kamelink.com/public/2013/16.5-13%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB11problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2013/16.5-13%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB11.pdf]] 実は,A,Bの玉の取り出す確率は,玉を取り出す順序に関係しません. **(216) 最大値・最小値 [#lb5a530b] **(216) 最大値・最小値 [#e2ef640a] //16.5-16山口大・農・共獣・教育・経済・国総2.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2016/16.5-16%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E8%BE%B2%E3%83%BB%E5%85%B1%E7%8D%A3%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E5%9B%BD%E7%B7%8F2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2016/16.5-16%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E8%BE%B2%E3%83%BB%E5%85%B1%E7%8D%A3%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E5%9B%BD%E7%B7%8F2.pdf]] 条件を満たす目の出方を正しく数えましょう.最大値がMで最小値がmであるということは,すべての目がm以上M以下であり,少なくとも1つはMの目が出てかつ少なくとも1つはmの目が出るということです. //16.5-17京都大・文5.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%875problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%875.pdf]] さいころをn回振るときの出た目の最大値がMであるということは,出た目はすべてM以下であり,かつMの目が少なくとも1つ出るということです.最小値Lについても同じように考えましょう. **(217) 独立な試行 [#wd2ef01f] 2つの試行S,Tが互いに他方の結果に影響を与えないとき,~ SとTは独立であるという. 2つの独立な試行S,Tを行うとき,Sでは事象$A$ が起こり,~ Tでは事象$B$が起こるという事象を$C$とすると,事象Cの確率は $P(C)=P(A)P(B)$ である. //16.5-17福岡大・工1-3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E7%A6%8F%E5%B2%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A51-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E7%A6%8F%E5%B2%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A51-3.pdf]] 各対戦は独立な試行です.~ 後半はBがAに負けるかA以外にの人に負けるかで場合分けします. //16.8-17弘前大・理工(数学)6.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E5%BC%98%E5%89%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5(%E6%95%B0%E5%AD%A6)6problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E5%BC%98%E5%89%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5(%E6%95%B0%E5%AD%A6)6.pdf]] 6の目が出た回で試行は終了します.~ はじめての6が何回目で出るかで場合分けしましょう. **(218) 反復試行 [#l218d9e7] 同じ条件のもとで同じ試行を何回か繰り返し行うとき,各回の試行は独立である.~ このような試行を 反復試行 という. 1回の試行で事象Aが起こる確率をpとする. この試行をn回繰り返す反復試行において, Eがちょうどr回起こる確率は $_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$ である. //16.8-17茨城大・後工1-7.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A51-7problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A51-7.pdf]] 得点が3点となる回数で場合分けするとよいでしょう. //16.8-17佐賀大・教育・農3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E8%BE%B23problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E8%BE%B23.pdf]] (1)表裏の出る回数を把握しましょう.~ (2)表裏の出る回数は(1)と同じです.あとは条件を満たす移動何通りあるかです.~ これはグラフを利用すると説明しやすいでしょう. //16.8-17九州大・後理(数)4.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%B9%9D%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86(%E6%95%B0)4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%B9%9D%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86(%E6%95%B0)4.pdf]] 1回のサイコロ投げにおいて移動は3通りあります.~ n回後のPの座標と3種類の移動の回数についての連立方程式を作りましょう.~ (3)のQ(k)は条件付き確率です. **(219) 条件付き確率,確率の乗法定理 [#xcb6d8c9] 事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率を,~ 事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件付き確率といい, $P_A(B)$ と表す. $P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ である.これにより次の等式が得られる. $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ (確率の乗法定理) //16.6-17明治大・総合数理3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%B7%8F%E5%90%88%E6%95%B0%E7%90%863problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%B7%8F%E5%90%88%E6%95%B0%E7%90%863.pdf]] 条件付き確率ですが,これは結果がわかったときに,それより以前の確率を求めるものであり,原因の確率と呼ばれています. //16.6-17関西学院大・商・神・国際・教育・政策1-2.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E9%96%A2%E8%A5%BF%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%95%86%E3%83%BB%E7%A5%9E%E3%83%BB%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%AD%961-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E9%96%A2%E8%A5%BF%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%95%86%E3%83%BB%E7%A5%9E%E3%83%BB%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%AD%961-2.pdf]] 条件付き確率(原因の確率)のオンパレードです. **(220) 確率の漸化式 [#n20ea224] n回目に事象$E$が起こる確率を $p_n$ とすると n+1 回目に $E$ が起こるのは (i) n回目に $E$ が起こって, n+1 回目に $E$ が起こる または (ii) n回目に $E$ が起こらず, n+1 回目に $E$ が起こる のいずれかであるり $p_{n+1}=a p_n+b(1-p_n)$ の形で表すことができる. //10.7-17甲南大・理工・知能・フロ2.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E7%94%B2%E5%8D%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E7%9F%A5%E8%83%BD%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AD2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E7%94%B2%E5%8D%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E7%9F%A5%E8%83%BD%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AD2.pdf]] 確率と漸化式の融合問題です.~ n回目からn+1回目の状況変化を式で表しましょう. //10.7-17北海道大・文3.tex [[&ref(http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%873problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい.);>http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%873.pdf]] (1)n秒後からn+1秒後の状況変化を式で表しましょう.~ (2)2項間漸化式を解きます.