#author("2023-12-20T05:18:26+09:00","default:t-kame","t-kame")
#author("2023-12-20T10:05:40+09:00","default:t-kame","t-kame")
[[数学IIIチェック＆リピート]]~
[[有理関数の積分(部分分数分解)>数学IIIチェック＆リピート　第5章　§1積分の計算　5．有理関数の積分(部分分数分解)]]
← [[三角関数の積分>数学IIIチェック＆リピート　第5章　§1積分の計算　6．三角関数の積分]] → 
[[指数関数の積分>数学IIIチェック＆リピート　第5章　§1積分の計算　7．指数関数の積分]]

#contents
------
問題文を''クリック''すると解答をみることができます．
------

*''三角関数の積分'' [#gbfbf72f]
[[&ref(http://kamelink.com/public/CR_III/3050106_%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/CR_III/3050106_%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86.pdf]]

----

*''類題演習'' [#w1d7972a]
//15.7-23電気通信大・1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.7-23%E9%9B%BB%E6%B0%97%E9%80%9A%E4%BF%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.7-23%E9%9B%BB%E6%B0%97%E9%80%9A%E4%BF%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB1.pdf]]~
(５)の計算準備として(１)(２)(４)が並んでいます．~



//15.7-23東京海洋大・海洋工4-II.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.7-23%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%B5%B7%E6%B4%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%B5%B7%E6%B4%8B%E5%B7%A54-IIproblem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.7-23%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%B5%B7%E6%B4%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%B5%B7%E6%B4%8B%E5%B7%A54-II.pdf]]~
(２)によりグラフの対称性に気づきます．(３)の積分計算に活かしましょう．~



//15.3-23山梨大・後医5.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.3-23%E5%B1%B1%E6%A2%A8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%8C%BB5problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.3-23%E5%B1%B1%E6%A2%A8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%8C%BB5.pdf]]~
チェビシェフの多項式について問われています．~



//15.2-23富山大・理・医・薬1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%AF%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E8%96%AC1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%AF%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E8%96%AC1.pdf]]~
誘導無しでは(５)に辿り着くのは困難ですね．~

//15.2-23富山大・後工・都市1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%AF%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A5%E3%83%BB%E9%83%BD%E5%B8%821problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%AF%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A5%E3%83%BB%E9%83%BD%E5%B8%821.pdf]]~
(３)ではｍ＝ｎ，ｍ≠ｎの場合分けが必要です．~



//15.2-23愛媛大・教育・理・医・工4-3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E6%84%9B%E5%AA%9B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E5%B7%A54-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E6%84%9B%E5%AA%9B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E5%B7%A54-3.pdf]]~
積分区間がｙ軸に関して対称なので偶関数・奇関数に着目しましょう．~



//15.2-23高知大・医・理工4.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E9%AB%98%E7%9F%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A54problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E9%AB%98%E7%9F%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A54.pdf]]~
計算力が問われています．~

//15.2-23佐賀大・理工4.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A54problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A54.pdf]]~
(１)(２)は(３)の準備です．~

//15.2-23佐賀大・医5.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB5problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB5.pdf]]~
理工学部で(1)をやや易しくした問題が出題されています．~

//15.2-23兵庫県大・中・理1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%85%B5%E5%BA%AB%E7%9C%8C%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%B8%AD%E3%83%BB%E7%90%861problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%85%B5%E5%BA%AB%E7%9C%8C%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%B8%AD%E3%83%BB%E7%90%861.pdf]]~
絶対値をはずすことから始めましょう．~



//15.2-23岡山県大・情報工13.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%B2%A1%E5%B1%B1%E7%9C%8C%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B1%E5%B7%A51-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%B2%A1%E5%B1%B1%E7%9C%8C%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B1%E5%B7%A51-3.pdf]]~
被積分関数の次数下げを考えましょう．~

//15.2-23広島市大・情報科学1-3-ii.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%BA%83%E5%B3%B6%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B1%E7%A7%91%E5%AD%A61-3-iiproblem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%BA%83%E5%B3%B6%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B1%E7%A7%91%E5%AD%A61-3-ii.pdf]]~
2倍角，半角の公式を用いて次数下げを考えましょう．~

//15.2-23広島市大・後・情報科学1-3-ii.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%BA%83%E5%B3%B6%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B1%E7%A7%91%E5%AD%A61-3-iiproblem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E5%BA%83%E5%B3%B6%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B1%E7%A7%91%E5%AD%A61-3-ii.pdf]]~
２倍角の公式と部分積分法を用います．~

//15.2-23東京都市大・情報工・建築・理工2-3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B1%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%BB%BA%E7%AF%89%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A52-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B1%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%BB%BA%E7%AF%89%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A52-3.pdf]]~
置換積分を利用しましょう．~

//15.2-23東京理大・薬2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E7%90%86%E5%A4%A7%E3%83%BB%E8%96%AC2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E7%90%86%E5%A4%A7%E3%83%BB%E8%96%AC2.pdf]]~
三角関数を有理関数に置換する積分が問われています．~
(２)の最後の積分２つはセットにして扱います．~

//15.2-23藤田医大・医1-7.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E8%97%A4%E7%94%B0%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB1-7problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E8%97%A4%E7%94%B0%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB1-7.pdf]]~
差がつく問題です．~

//15.2-23関東学院大・理工・建築・環境・人間共生5-3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E9%96%A2%E6%9D%B1%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%BB%BA%E7%AF%89%E3%83%BB%E7%92%B0%E5%A2%83%E3%83%BB%E4%BA%BA%E9%96%93%E5%85%B1%E7%94%9F5-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/15.2-23%E9%96%A2%E6%9D%B1%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%BB%BA%E7%AF%89%E3%83%BB%E7%92%B0%E5%A2%83%E3%83%BB%E4%BA%BA%E9%96%93%E5%85%B1%E7%94%9F5-3.pdf]]~
後半2つの積分は漸化式を用いて処理することもできます．~



//15.2-22茨城大・工1-3-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A51-3-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A51-3-1.pdf]]~
２倍角の公式を用いながら式を整理しましょう．~

//15.2-22茨城大・後工1-6-2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A51-6-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A51-6-2.pdf]]~
半角の公式を用いて次数下げしましょう．~

//15.2-22信州大・理(数)1-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E4%BF%A1%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86(%E6%95%B0)1-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E4%BF%A1%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86(%E6%95%B0)1-1.pdf]]~
半角の公式を用いましょう．~

//15.2-22宮崎大・工1-5.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E5%AE%AE%E5%B4%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A51-5problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E5%AE%AE%E5%B4%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A51-5.pdf]]~
被積分関数の次数下げを考えます．~




//15.2-22学習院大・理・文3-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E5%AD%A6%E7%BF%92%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E6%96%873-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E5%AD%A6%E7%BF%92%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E6%96%873-1.pdf]]~
tanの2乗とcosの2乗の関係式を思い出しましょう．~

//15.2-22学習院大・理・文3-2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E5%AD%A6%E7%BF%92%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E6%96%873-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E5%AD%A6%E7%BF%92%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E6%96%873-2.pdf]]~
tanの2乗とcosの2乗の関係式を思い出しましょう．置換積分法を用います．~

//15.2-22藤田医大・1-11.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E8%97%A4%E7%94%B0%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB1-11problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/15.2-22%E8%97%A4%E7%94%B0%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB1-11.pdf]]~
直接計算するか，漸化式を考えるかになるでしょう．~



//15.2-21弘前大・理工・医・教育1-2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/15.2-21%E5%BC%98%E5%89%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B21-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/15.2-21%E5%BC%98%E5%89%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B21-2.pdf]]~
偶関数であることに注意して積分区間を調整し，被積分関数は積和の公式を用いて変形しましょう．~

//15.2-21山梨大・後医2-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/15.2-21%E5%B1%B1%E6%A2%A8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%8C%BB2-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/15.2-21%E5%B1%B1%E6%A2%A8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%8C%BB2-1.pdf]]~
前半は和を積に直す公式で出発します．後半は置換積分・部分積分の両方を使います．~

//15.2-21熊本大・理系4.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/15.2-21%E7%86%8A%E6%9C%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/15.2-21%E7%86%8A%E6%9C%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB4.pdf]]~
難問です．対称性や周期性に着目し計算を減らす工夫をしましょう．~


//15.2-21兵庫県大・工2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/15.2-21%E5%85%B5%E5%BA%AB%E7%9C%8C%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A52problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/15.2-21%E5%85%B5%E5%BA%AB%E7%9C%8C%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A52.pdf]]~
(1)は(2)のヒントであり，~
(2)の積分をするためには絶対値をはず工夫をしなさいという出題者の意図がみえます．~

//15.2-20明治大・理工・政経・数理1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/15.2-20%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%B5%8C%E3%83%BB%E6%95%B0%E7%90%861problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/15.2-20%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%B5%8C%E3%83%BB%E6%95%B0%E7%90%861.pdf]]~
絶対値をはずすための誘導がついています．~

//15.2-20福岡大・医5-2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/15.2-20%E7%A6%8F%E5%B2%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB5-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/15.2-20%E7%A6%8F%E5%B2%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB5-2.pdf]]~
後半の積分は置換積分法を用います．~

//15.7-19室蘭工大・2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/15.7-19%E5%AE%A4%E8%98%AD%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2019/15.7-19%E5%AE%A4%E8%98%AD%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB2answer.pdf]]~
(１)与えられた3条件からａ，ｂ，ｃの値が決まります．(２)は単純計算．~


//15.3-18成蹊大・理工.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2018/15.3-18%E6%88%90%E8%B9%8A%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2018/15.3-18%E6%88%90%E8%B9%8A%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5.pdf]]~
関数xをsin, cos の1次式で近似しようという問題です．~
解く側としてはひたすら計算するのみです．~

//15.2-17北海道大・後理・工2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/15.2-17%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A52problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/15.2-17%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A52.pdf]]~
誘導にのりながら進んでいきましょう．~
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