オイラー関数
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#author("2019-09-25T16:03:45+09:00","","")
[[FrontPage]]
*オイラーの $\phi$ 関数 [#w0588885]
-nを正整数とするとき,1からnまでの整数で,nと互いに素...
整数nとaとが互いに素とは,それらの最大公約数が1となる...
-m,nが互いに素であるとき~
$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$
-$n=p^aq^b\ \cdots\ r^c$ (p,q,…,rは素数a,b,… ,cは自...
$\phi(n)=n \left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\...
-''オイラーの定理''
nを正整数,aをnと互いに素な整数とする.このとき~
$a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$~
//$a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod(n)$~
が成立する.
--n=p(素数のとき),φ(p)=p−1であるから~
$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$~
が成立する.これは''フェルマーの小定理''とよばれている.
*参考 [#d709be9a]
[[オイラー関数(kamelink):https://kamelink.com/public/othe...
[[wikipedia:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%...
//[[takeuchi:http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tba...
[[青空学園:http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node26...
[[オイラー関数とオイラーの定理:http://www.tcp-ip.or.jp/~n...
[[kyの書架:http://kynoshoka.com/eulerfunc.pdf]]
*入試問題 [#jb32b96e]
問題文を''クリック''すると解答をみることができます.
//1.7-19大阪市大・後理(数)6.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%A4%A7%E...
(1)pのn乗以下の自然数からpのn乗と互いに素でないものを除き...
(2)背理法を用いましょう.与えられた条件はhと互いに素なh未...
(3)は2と3はhと互いに素でないことに着目します.すなわち,2...
φ(mn)=φ(m)φ(n)については[[「ここ」:https://kamelink.com/p...
//1.7-15一橋大・1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2015/1.7-15%E4%B8%80%E...
E(n)はオイラーのファイ関数,略してオイラー(Euler)関数と呼...
//1.7-06横浜市大・医2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2006/1.7-06%E6%A8%AA%E...
N=84773093 がどのように素因数分解されるか直ちに判断するの...
φ(N)を知ると(3)のようにして素因数分解することができます.~
φ(N)は暗号理論で利用されています.
//1.7-05佐賀大・理工1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2005/1.7-05%E4%BD%90%E...
φ(n) はオイラーのファイ関数と呼ばれていています.~
n(=10,100,1500)を素因数分解し,1からnまでの自然数から~
nと互いに素でない(nの約数となる)数を除くことを考えます.
//1.7-05早稲田大・社会科学3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2005/1.7-05%E6%97%A9%E...
nとの最大公約数が1である自然数ということは,nと互いに素...
// $n$ 以下の自然数で $n$ との最大公約数が 1 であるよう...
//1.7-03名古屋大・文系3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2003/1.7-03%E5%90%8D%E...
f(n)はファイ関数と呼ばれています.
//f(15),f(pq) /[[受験の月:http://examist.jp/mathematics/...
//1.7-93横浜市大・医・文理2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/1993/1.7-93%E6%A8%AA%E...
f(n)はオイラーのファイ関数(トーシェント関数)と呼ばれてい...
f(n)は n と互いに素な n 以下の自然数の個数を表しています.
//1.7-92埼玉大・後理・工1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/1992/1.7-92%E5%9F%BC%E...
f(n) はファイ関数と呼ばれています.~
(2)から(3)が面白い.
//f(12),f(13),f(14);m と n-m,f(n) は偶数であること
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#author("2019-09-25T16:03:45+09:00","","")
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*オイラーの $\phi$ 関数 [#w0588885]
-nを正整数とするとき,1からnまでの整数で,nと互いに素...
整数nとaとが互いに素とは,それらの最大公約数が1となる...
-m,nが互いに素であるとき~
$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$
-$n=p^aq^b\ \cdots\ r^c$ (p,q,…,rは素数a,b,… ,cは自...
$\phi(n)=n \left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\...
-''オイラーの定理''
nを正整数,aをnと互いに素な整数とする.このとき~
$a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$~
//$a^{\phi(n)} \equiv 1 \mod(n)$~
が成立する.
--n=p(素数のとき),φ(p)=p−1であるから~
$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$~
が成立する.これは''フェルマーの小定理''とよばれている.
*参考 [#d709be9a]
[[オイラー関数(kamelink):https://kamelink.com/public/othe...
[[wikipedia:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%...
//[[takeuchi:http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tba...
[[青空学園:http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node26...
[[オイラー関数とオイラーの定理:http://www.tcp-ip.or.jp/~n...
[[kyの書架:http://kynoshoka.com/eulerfunc.pdf]]
*入試問題 [#jb32b96e]
問題文を''クリック''すると解答をみることができます.
//1.7-19大阪市大・後理(数)6.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%A4%A7%E...
(1)pのn乗以下の自然数からpのn乗と互いに素でないものを除き...
(2)背理法を用いましょう.与えられた条件はhと互いに素なh未...
(3)は2と3はhと互いに素でないことに着目します.すなわち,2...
φ(mn)=φ(m)φ(n)については[[「ここ」:https://kamelink.com/p...
//1.7-15一橋大・1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2015/1.7-15%E4%B8%80%E...
E(n)はオイラーのファイ関数,略してオイラー(Euler)関数と呼...
//1.7-06横浜市大・医2.tex
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N=84773093 がどのように素因数分解されるか直ちに判断するの...
φ(N)を知ると(3)のようにして素因数分解することができます.~
φ(N)は暗号理論で利用されています.
//1.7-05佐賀大・理工1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2005/1.7-05%E4%BD%90%E...
φ(n) はオイラーのファイ関数と呼ばれていています.~
n(=10,100,1500)を素因数分解し,1からnまでの自然数から~
nと互いに素でない(nの約数となる)数を除くことを考えます.
//1.7-05早稲田大・社会科学3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2005/1.7-05%E6%97%A9%E...
nとの最大公約数が1である自然数ということは,nと互いに素...
// $n$ 以下の自然数で $n$ との最大公約数が 1 であるよう...
//1.7-03名古屋大・文系3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2003/1.7-03%E5%90%8D%E...
f(n)はファイ関数と呼ばれています.
//f(15),f(pq) /[[受験の月:http://examist.jp/mathematics/...
//1.7-93横浜市大・医・文理2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/1993/1.7-93%E6%A8%AA%E...
f(n)はオイラーのファイ関数(トーシェント関数)と呼ばれてい...
f(n)は n と互いに素な n 以下の自然数の個数を表しています.
//1.7-92埼玉大・後理・工1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/1992/1.7-92%E5%9F%BC%E...
f(n) はファイ関数と呼ばれています.~
(2)から(3)が面白い.
//f(12),f(13),f(14);m と n-m,f(n) は偶数であること
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