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#author("2018-07-19T10:15:01+09:00","","")
[[FrontPage]] [[kamelink:http://kamelink.com/]]
前期 XH§2~
[[(201)〜(208) ベクトル:http://kamelink.com/exam/index.p...
[[(209)〜(213) 順列・組合せ:http://kamelink.com/exam/ind...
[[(214)〜(220) 確率:http://kamelink.com/exam/index.php?%...
問題文を''クリック''すると解答をみることができます.
#contents
**(201) 分点公式・面積比 [#bc4cf3d3]
ベクトルの第1問目ですが,[[分点公式:http://kamelink.com/p...
ベクトルの扱いに慣れることから始めましょう.ベクトルの始...
$\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}}$ ...
分点公式は直線のベクトル方程式の1つの表現です.また,ベク...
//20180424 6.2-17岩手県大・後.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.2-17%E5%B2%A9%E6...
分点公式の演習としての頻出問題です.(1)で具体例を考え,(2...
//20180426 6.3-17埼玉大・後理・工1.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.3-17%E5%9F%BC%E7...
(1)分点公式を利用します.(2)2直線の方向ベクトルが平行であ...
/////////////////////////////////////////////////////////...
**(202) 平面ベクトルの1次独立 [#k2fb08eb]
教科書では
平面ベクトルの1次独立を~
$\vec{a}\neq\vec{0}$,$\vec{b}\neq\vec{0}$,$ \vec{a}...
($\Leftrightarrow$ 3点O,A,Bは同一直線上にない
$\Leftrightarrow$ 三角形OABをつくる)~
空間ベクトルの1次独立を~
4点O,A,B,Cは同一平面上にない
($\Leftrightarrow$ 四面体OABCをつくる)~
と定義していますが,大学での1次独立の定義は~
平面ベクトル:
$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow \alpha=\be...
空間ベクトル:
$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}\Rightar...
です.
[[1次独立とは:http://kamelink.com/public/others/1%E6%AC%A...
平面上の図形ならばメネラウスの定理,チェバの定理を用いて...
空間になるとこの手の定理は使えません.~
しかし,ベクトルなら空間でも同じ考え方で(1次独立を用いて)...
//20180427 6.3-17長崎大・経済・環境科・水産・教育1-1.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.3-17%E9%95%B7%E5...
直線の方程式(分点公式),1次独立を学ぶための基本問題です....
//20180428 6.3-17学習院大・法4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.3-17%E5%AD%A6%E7...
平行四辺形を用いた1次独立の問題です.Rは2直線の交点なので...
/////////////////////////////////////////////////////////...
**(203) 領域の図示 [#s1bcaec0]
ベクトルにより表された点の存在領域を図示する問題です.
斜交座標を考えて図示できるようにしましょう.~
また「何故そのような図形になるか」を問われたときは
ベクトルの和,スカラー倍の定義にまで戻って説明できるよう...
2点A,Bを通る直線は
$\vec{\mathrm{OP}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{...
として表示されます.
//[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.3-16%E7%A6%8F%...
//問題文の2行目の条件から三角形OABの形状が確定します.k,...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.4-16%E6%9D%B1%E5...
図は描けるが……,ではダメでしょう.図示は成分計算でゴリ押...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2011/6.3-11%E7%94%B2%E5...
平面ベクトルでの領域の図示問題です.(1)では直線の方程式,...
/////////////////////////////////////////////////////////...
**(204) 内積 [#le72ce0f]
内積の定義$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\the...
$\vec{0}$でない2つのベクトルのなす角$\theta$は
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec...
として求めることができます.
また,内積は
交換則:$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$~
分配則:$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\v...
スカラー倍についての結合則:$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\...
が成り立ちます.
これにより内積は数の積のように展開することができます.
また,三角形OABの面積$S$は
$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{\mathrm{OA}}|^2|\vec{\mathr...
です.公式として使えるようにしておきましょう.
//[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.4-17%E7%A6%8F%...
//内積および分点公式についての基本問題です.内積は数の積...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.4-17%E7%AB%8B%E5...
△OABについての条件が3つ与えられているので,この三角形は確...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.4-17%E9%96%A2%E8...
[[重心:http://kamelink.com/public/2017/6.3-17%E6%9D%B1%...
/////////////////////////////////////////////////////////...
**(205) 共面条件,空間ベクトルの1次独立 [#z882892e]
平面と直線の交点Tを求めるには,
Tを平面上の点として,また,直線上の点として2通りに表し,
使われたベクトルの1次独立性から係数を比較します.
3点A,B,Cで決まる平面のベクトル方程式は
$\vec{\mathrm{AP}}=s\vec{\mathrm{AB}}+t\vec{\mathrm{A...
$\vec{\mathrm{OP}}=\vec{\mathrm{OA}}+s\vec{\mathrm{AB...
$\vec{\mathrm{OP}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{...
です.また,点Aを通り,$\vec{u}$に平行な直線のベクトル方...
$\vec{\mathrm{OP}}=\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{u}$ ($t$...
2点A,Bを通る直線のベクトル方程式は
$\vec{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\math...
$\vec{\mathrm{OP}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{...
です.
//6.6-16大阪市大・後理(数)・工4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.6-16%E5%A4%A7%E9...
4点が同一平面上にあるという条件は,4点のうちの3点でつくら...
//6.6-17鹿児島大・理・工・医・歯・教・農・獣・水産4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.6-17%E9%B9%BF%E5...
線分OFと平面PQRの交点Rを1次独立なベクトルで2通りに表し,...
//6.6-17高崎経済大・経済・地域政策5.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.6-17%E9%AB%98%E5...
(3)Pが1次独立な3つのベクトルで表されるとき,Pが平面OBC上...
/////////////////////////////////////////////////
**(206) 空間ベクトルの成分表示 [#g6eb9ba7]
成分表示された図形の扱いを取り上げた問題です.
ここでは直線と球面,直線と平面の交点を求めることに焦点を...
//6.6-16専修大・ネット情報2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.6-16%E5%B0%82%E4...
球面と直線が接するということは,共有点がただ1つ存在すると...
//6.6-16茨城大・後工1-7.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.6-16%E8%8C%A8%E5...
垂線の足は頻出.対称点を求めるところで直線のベクトル方程...
//////////////////////////////////////////////////////
**(207) 円・球のベクトル方程式 [#e7b2937d]
平面では~
(1) 点A($\vec{a}$)を中心とする半径 $r$ の円は
$|\vec{p}-\vec{a}|=r$
(2) 点A($\vec{a}$),点B($\vec{b}$)を直径の両端とする円は
$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$
(3) 点A$(a,~b)$を中心とする半径 $r$ の円は
${x\choose y} ={a\choose b} +r{{\cos \theta}\choose {...
空間では,(1),(2)は球面のベクトル方程式となります.
//6.4-17早稲田大・人間科学AB3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.4-17%E6%97%A9%E7...
円のベクトル方程式の問題です.2点を直径の両端とする円のベ...
//6.4-13一橋大・4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2013/6.4-13%E4%B8%80%E6...
始点がバラバラです.始点をOにそろえて式を整理してみましょ...
/////////////////////////////////////////////////////
**(208) 正射影ベクトル・四面体の体積 [#j3a24176]
内積と成分~
$\vec{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3)$,$\vec{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3)$ ...
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
です.
$\vec{a}$ の $\vec{n}$ への正射影ベクトル$\vec{p}$は
$\vec{p}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}\vec{...
です.
//6.6-16電気通信大・3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.6-16%E9%9B%BB%E6...
(1),(2)は親切すぎ?Mを始点としたベクトルで表すと計算がき...
(3)OHの長さを求めるためにHの座標を求めますか?,それとも...
正射影ベクトルを利用すれば,垂線の足の座標を求めなくても...
(4)でやっと球面が現れて+αの体積問題となりました.
//6.6-17早稲田大・教育3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.6-17%E6%97%A9%E7...
成分表示されていない四面体の体積についての基本問題です.
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前期 XH§2~
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[[(209)〜(213) 順列・組合せ:http://kamelink.com/exam/ind...
[[(214)〜(220) 確率:http://kamelink.com/exam/index.php?%...
問題文を''クリック''すると解答をみることができます.
#contents
**(201) 分点公式・面積比 [#bc4cf3d3]
ベクトルの第1問目ですが,[[分点公式:http://kamelink.com/p...
ベクトルの扱いに慣れることから始めましょう.ベクトルの始...
$\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}}$ ...
分点公式は直線のベクトル方程式の1つの表現です.また,ベク...
//20180424 6.2-17岩手県大・後.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.2-17%E5%B2%A9%E6...
分点公式の演習としての頻出問題です.(1)で具体例を考え,(2...
//20180426 6.3-17埼玉大・後理・工1.tex
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(1)分点公式を利用します.(2)2直線の方向ベクトルが平行であ...
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**(202) 平面ベクトルの1次独立 [#k2fb08eb]
教科書では
平面ベクトルの1次独立を~
$\vec{a}\neq\vec{0}$,$\vec{b}\neq\vec{0}$,$ \vec{a}...
($\Leftrightarrow$ 3点O,A,Bは同一直線上にない
$\Leftrightarrow$ 三角形OABをつくる)~
空間ベクトルの1次独立を~
4点O,A,B,Cは同一平面上にない
($\Leftrightarrow$ 四面体OABCをつくる)~
と定義していますが,大学での1次独立の定義は~
平面ベクトル:
$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow \alpha=\be...
空間ベクトル:
$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}\Rightar...
です.
[[1次独立とは:http://kamelink.com/public/others/1%E6%AC%A...
平面上の図形ならばメネラウスの定理,チェバの定理を用いて...
空間になるとこの手の定理は使えません.~
しかし,ベクトルなら空間でも同じ考え方で(1次独立を用いて)...
//20180427 6.3-17長崎大・経済・環境科・水産・教育1-1.tex
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直線の方程式(分点公式),1次独立を学ぶための基本問題です....
//20180428 6.3-17学習院大・法4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.3-17%E5%AD%A6%E7...
平行四辺形を用いた1次独立の問題です.Rは2直線の交点なので...
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**(203) 領域の図示 [#s1bcaec0]
ベクトルにより表された点の存在領域を図示する問題です.
斜交座標を考えて図示できるようにしましょう.~
また「何故そのような図形になるか」を問われたときは
ベクトルの和,スカラー倍の定義にまで戻って説明できるよう...
2点A,Bを通る直線は
$\vec{\mathrm{OP}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{...
として表示されます.
//[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.3-16%E7%A6%8F%...
//問題文の2行目の条件から三角形OABの形状が確定します.k,...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.4-16%E6%9D%B1%E5...
図は描けるが……,ではダメでしょう.図示は成分計算でゴリ押...
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平面ベクトルでの領域の図示問題です.(1)では直線の方程式,...
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**(204) 内積 [#le72ce0f]
内積の定義$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\the...
$\vec{0}$でない2つのベクトルのなす角$\theta$は
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec...
として求めることができます.
また,内積は
交換則:$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$~
分配則:$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\v...
スカラー倍についての結合則:$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\...
が成り立ちます.
これにより内積は数の積のように展開することができます.
また,三角形OABの面積$S$は
$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{\mathrm{OA}}|^2|\vec{\mathr...
です.公式として使えるようにしておきましょう.
//[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.4-17%E7%A6%8F%...
//内積および分点公式についての基本問題です.内積は数の積...
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.4-17%E7%AB%8B%E5...
△OABについての条件が3つ与えられているので,この三角形は確...
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[[重心:http://kamelink.com/public/2017/6.3-17%E6%9D%B1%...
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**(205) 共面条件,空間ベクトルの1次独立 [#z882892e]
平面と直線の交点Tを求めるには,
Tを平面上の点として,また,直線上の点として2通りに表し,
使われたベクトルの1次独立性から係数を比較します.
3点A,B,Cで決まる平面のベクトル方程式は
$\vec{\mathrm{AP}}=s\vec{\mathrm{AB}}+t\vec{\mathrm{A...
$\vec{\mathrm{OP}}=\vec{\mathrm{OA}}+s\vec{\mathrm{AB...
$\vec{\mathrm{OP}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{...
です.また,点Aを通り,$\vec{u}$に平行な直線のベクトル方...
$\vec{\mathrm{OP}}=\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{u}$ ($t$...
2点A,Bを通る直線のベクトル方程式は
$\vec{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\math...
$\vec{\mathrm{OP}}=\alpha\vec{\mathrm{OA}}+\beta\vec{...
です.
//6.6-16大阪市大・後理(数)・工4.tex
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4点が同一平面上にあるという条件は,4点のうちの3点でつくら...
//6.6-17鹿児島大・理・工・医・歯・教・農・獣・水産4.tex
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線分OFと平面PQRの交点Rを1次独立なベクトルで2通りに表し,...
//6.6-17高崎経済大・経済・地域政策5.tex
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(3)Pが1次独立な3つのベクトルで表されるとき,Pが平面OBC上...
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**(206) 空間ベクトルの成分表示 [#g6eb9ba7]
成分表示された図形の扱いを取り上げた問題です.
ここでは直線と球面,直線と平面の交点を求めることに焦点を...
//6.6-16専修大・ネット情報2.tex
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球面と直線が接するということは,共有点がただ1つ存在すると...
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垂線の足は頻出.対称点を求めるところで直線のベクトル方程...
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**(207) 円・球のベクトル方程式 [#e7b2937d]
平面では~
(1) 点A($\vec{a}$)を中心とする半径 $r$ の円は
$|\vec{p}-\vec{a}|=r$
(2) 点A($\vec{a}$),点B($\vec{b}$)を直径の両端とする円は
$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$
(3) 点A$(a,~b)$を中心とする半径 $r$ の円は
${x\choose y} ={a\choose b} +r{{\cos \theta}\choose {...
空間では,(1),(2)は球面のベクトル方程式となります.
//6.4-17早稲田大・人間科学AB3.tex
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円のベクトル方程式の問題です.2点を直径の両端とする円のベ...
//6.4-13一橋大・4.tex
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始点がバラバラです.始点をOにそろえて式を整理してみましょ...
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**(208) 正射影ベクトル・四面体の体積 [#j3a24176]
内積と成分~
$\vec{a}=(a_1,\,a_2,\,a_3)$,$\vec{b}=(b_1,\,b_2,\,b_3)$ ...
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
です.
$\vec{a}$ の $\vec{n}$ への正射影ベクトル$\vec{p}$は
$\vec{p}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}\vec{...
です.
//6.6-16電気通信大・3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/6.6-16%E9%9B%BB%E6...
(1),(2)は親切すぎ?Mを始点としたベクトルで表すと計算がき...
(3)OHの長さを求めるためにHの座標を求めますか?,それとも...
正射影ベクトルを利用すれば,垂線の足の座標を求めなくても...
(4)でやっと球面が現れて+αの体積問題となりました.
//6.6-17早稲田大・教育3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/6.6-17%E6%97%A9%E7...
成分表示されていない四面体の体積についての基本問題です.
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