夏期数学IIB頻出図形と方程式のバックアップ(No.1) - PukiWiki

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夏期数学IIB頻出

問題文をクリックすると解答をみることができます．

【6】　対称点，定点を通る図形
【7】　2つの図形の交点を通る図形
【8】　極・極線，反転
【9】　領域における最大・最小

【6】　対称点，定点を通る図形 †

三角形の面積
相異なる3点O(0,0)，A，Bがあるとき，△OABの面積は
　　 $S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_1y_1|$
である．
対称点
QがPの直線ABに関する対称点であるための条件は
　　「線分PQの中点は直線AB上にあり」
　　かつ
　　「直線 PQ と直線 AB は直交する」
ことです．
点と直線との距離
点P $(x_0,\ y_0)$ から直線にいたる距離は
　　 $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
である．

(1)三角形ABPの面積はいろいろな求め方があります．
(2)QがPの直線ABに関する対称点であるための条件は「線分PQの中点は直線AB上にあり」かつ「直線 PQ と直線 AB は直交する」ことです．

媒介変数kを含む図形ｆ(ｘ，ｙ，ｋ)＝０がｋの値に関係なく定点を通る条件は，ｆ(ｘ，ｙ，ｋ)＝０がｋの値にかかわらず成り立つ実数ｘ，ｙが存在することです．すなわち，図形の方程式をｋについての恒等式とみます．

【7】　2つの図形の交点を通る図形 †

2つの図形，が交点をもつとき，
　　
はすべての交点を通る図形である．

交点の座標を求めれば，交点と点(１，１)を通る直線の方程式を求めることもできますが，交点の座標を求めなくても交点を通る直線の方程式を表すことはできます．

与えられた等式は円と直線の連立とみることができます．

【8】　極・極線，反転 †

相似を使って幾何的に解くことができます．
Aは極(pole)，直線BCは極線(polar)と呼ばれています．

P(x，y)に対応する点Q(X，Y)の軌跡を求めるということは，与えられた条件を満たすx，yが存在するためのX，Yの条件を求めるということです．x，ｙについて解く(x，ｙをX，Yを用いて表す)ことが第1の作業です．
Pに対しOP×OQ=(一定)となるようなQを対応させる変換は反転と呼ばれています．

【9】　領域における最大・最小 †

領域における最大最小の問題であり，x+2y=kと与えられた領域が共有点をもつようなkの値の最大値，最小値を求めます．

問題文の場合分けがなぜ必要になるかを考えてみましょう．その後は2x+y=lと与えられた領域が共有点をもつようなlの値の最大値を求めます．