確率のバックアップの現在との差分(No.3)

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- 1 (2018-07-11 (水) 16:06:45)
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- 3 (2018-07-12 (木) 16:38:38)
- 4 (2018-07-14 (土) 16:30:21)
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前期　XH§2~
[[(201)～(208)　ベクトル:http://kamelink.com/exam/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB]]~
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[[(214)～(220)　確率(工事中):http://kamelink.com/exam/index.php?%B3%CE%CE%A8]]
[[(214)～(220)　確率:http://kamelink.com/exam/index.php?%B3%CE%CE%A8]]


問題文を''クリック''すると解答をみることができます．

#contents

**(214) 確率の定義 [#q63129f4]

ある試行において，
起こり得る結果の全体を集合 $U$ で表し，
$U$ で表される事象を''全事象''という．

全事象は必ず起こる事象である．
また，すべての事象は $U$ の部分集合で表すことができる．

とくに，$U$ の1個の要素だけからなる集合で表される事象を''根元事象''という．
根元事象のどれもが同じ程度に起こると期待できるとき，
根元事象は''同様に確からしい''という．

ある試行において，
全事象 $U$ の根元事象の個数は，$n(U)=N$ であり，
どの根元事象も同様に確からしいとする．~
事象 $A$ の根元事象の個数を $n(A)=a$ とするとき，
事象 $A$ の確率を $\frac{a}{N}$ で定め，$P(A)$ と書く．すなわち

　　$P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{a}{N}$

である．

[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.4-17%E5%B0%8F%E6%A8%BD%E5%95%86%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.4-17%E5%B0%8F%E6%A8%BD%E5%95%86%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2.pdf]]

袋の中の玉を等確率に取り出すように玉をすべて区別しましょう．

[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/16.4-16%E5%AD%A6%E7%BF%92%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%861problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2016/16.4-16%E5%AD%A6%E7%BF%92%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%861.pdf]]

与えられた状況を的確にとらえましょう．場合分けが多くなったときは余事象を考えてみるのも手です．

**(215) 確率の基本性質 [#a0e110f7]

(1) 全事象 $U$ の部分集合 $A$ に対して~
　　$0\leq P(A)\leq 1$，　 $P(\empty)=0$ ($\empty$は空集合)，　$P(U)=1$

(2) 事象 $A$，$B$ に対し~
　　$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

特に $A$，$B$ が互いに排反のとき~
　　$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

(3) $A$ の余事象 $\overline{A}$ に対し~
　　$P(\overline{A})=1-P(A)$

[[&ref(http://kamelink.com/public/2013/16.5-13%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB11problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2013/16.5-13%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB11.pdf]]

実は，A，Bの玉の取り出す確率は，玉を取り出す順序に関係しません．


**(216) 最大値・最小値 [#e2ef640a]

//16.5-16山口大・農・共獣・教育・経済・国総2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2016/16.5-16%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E8%BE%B2%E3%83%BB%E5%85%B1%E7%8D%A3%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E5%9B%BD%E7%B7%8F2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2016/16.5-16%E5%B1%B1%E5%8F%A3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E8%BE%B2%E3%83%BB%E5%85%B1%E7%8D%A3%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E5%9B%BD%E7%B7%8F2.pdf]]

条件を満たす目の出方を正しく数えましょう．最大値がMで最小値がmであるということは，すべての目がm以上M以下であり，少なくとも1つはMの目が出てかつ少なくとも1つはmの目が出るということです．

//16.5-17京都大・文5.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%875problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%875.pdf]]

さいころをn回振るときの出た目の最大値がMであるということは，出た目はすべてM以下であり，かつMの目が少なくとも1つ出るということです．最小値Lについても同じように考えましょう．


**(217) 独立な試行 [#wd2ef01f]

2つの試行S，Tが互いに他方の結果に影響を与えないとき，~
SとTは独立であるという．

2つの独立な試行S，Tを行うとき，Sでは事象$A$ が起こり，~
Tでは事象$B$が起こるという事象を$C$とすると，事象Cの確率は

　　$P(C)=P(A)P(B)$

である．

//16.5-17福岡大・工1-3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E7%A6%8F%E5%B2%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A51-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.5-17%E7%A6%8F%E5%B2%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A51-3.pdf]]

各対戦は独立な試行です．~
後半はBがAに負けるかA以外にの人に負けるかで場合分けします．

//16.8-17弘前大・理工(数学)6.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E5%BC%98%E5%89%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5(%E6%95%B0%E5%AD%A6)6problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E5%BC%98%E5%89%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5(%E6%95%B0%E5%AD%A6)6.pdf]]

6の目が出た回で試行は終了します．~
はじめての6が何回目で出るかで場合分けしましょう．

**(218) 反復試行 [#l218d9e7]

同じ条件のもとで同じ試行を何回か繰り返し行うとき，各回の試行は独立である．~
このような試行を 反復試行 という．

1回の試行で事象Aが起こる確率をpとする．
この試行をn回繰り返す反復試行において，
Eがちょうどr回起こる確率は

　　$_n\mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$

である．

//16.8-17茨城大・後工1-7.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A51-7problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A51-7.pdf]]

得点が3点となる回数で場合分けするとよいでしょう．


//16.8-17佐賀大・教育・農3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E8%BE%B23problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E8%BE%B23.pdf]]

(1)表裏の出る回数を把握しましょう．~
(2)表裏の出る回数は(1)と同じです．あとは条件を満たす移動何通りあるかです．~
これはグラフを利用すると説明しやすいでしょう．

//16.8-17九州大・後理(数)4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%B9%9D%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86(%E6%95%B0)4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.8-17%E4%B9%9D%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86(%E6%95%B0)4.pdf]]

1回のサイコロ投げにおいて移動は3通りあります．~
n回後のPの座標と3種類の移動の回数についての連立方程式を作りましょう．~
(3)のQ(k)は条件付き確率です．

**(219) 条件付き確率，確率の乗法定理 [#xcb6d8c9]

事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる確率を，~
事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件付き確率といい，
$P_A(B)$ と表す．

　　$P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

である．これにより次の等式が得られる．

　　$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$　　(確率の乗法定理)

//16.6-17明治大・総合数理3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%B7%8F%E5%90%88%E6%95%B0%E7%90%863problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%B7%8F%E5%90%88%E6%95%B0%E7%90%863.pdf]]

条件付き確率ですが，これは結果がわかったときに，それより以前の確率を求めるものであり，原因の確率と呼ばれています．

//16.6-17関西学院大・商・神・国際・教育・政策1-2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E9%96%A2%E8%A5%BF%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%95%86%E3%83%BB%E7%A5%9E%E3%83%BB%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%AD%961-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/16.6-17%E9%96%A2%E8%A5%BF%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%95%86%E3%83%BB%E7%A5%9E%E3%83%BB%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%AD%961-2.pdf]]

条件付き確率(原因の確率)のオンパレードです．


**(220) 確率の漸化式 [#n20ea224]

n回目に事象$E$が起こる確率を $p_n$ とすると n+1 回目に $E$ が起こるのは

　　(i)　n回目に $E$ が起こって， n+1 回目に $E$ が起こる

または

　　(ii)　n回目に $E$ が起こらず， n+1 回目に $E$ が起こる

のいずれかであるり

　　$p_{n+1}=a p_n+b(1-p_n)$

の形で表すことができる．


//10.7-17甲南大・理工・知能・フロ2.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E7%94%B2%E5%8D%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E7%9F%A5%E8%83%BD%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AD2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E7%94%B2%E5%8D%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E7%9F%A5%E8%83%BD%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AD2.pdf]]

確率と漸化式の融合問題です．~
n回目からn+1回目の状況変化を式で表しましょう．

//10.7-17北海道大・文3.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%873problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/10.7-17%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%873.pdf]]

(1)n秒後からn+1秒後の状況変化を式で表しましょう．~
(2)2項間漸化式を解きます．
確率 のバックアップの現在との差分(No.3)

確率のバックアップの現在との差分(No.3)
