数学I・Aチェック＆リピート　第6章　§3整数の性質　1.倍数・約数の変更点

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数学I・Aチェック＆リピート　第6章　§3整数の性質　1.倍数・約数の差分を削除
#author("2024-03-12T09:41:03+09:00","default:t-kame","t-kame")
#author("2024-03-26T10:11:22+09:00","default:t-kame","t-kame")
[[数学I・Aチェック＆リピート]]~
[[多面体>数学I・Aチェック＆リピート　第5章　§3空間図形　2.多面体]] 
← 第6章　整数 ： [[倍数・約数>数学I・Aチェック＆リピート　第6章　§3整数の性質　1.倍数・約数]] → 
[[最大公約数，最小公倍数>数学I・Aチェック＆リピート　第6章　§3整数の性質　2.最大公約数，最小公倍数]]

#contents
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問題文を''クリック''すると解答をみることができます．
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*''倍数・約数'' [#ga1dfd79]
[[&ref(http://kamelink.com/public/CR_IA/1a060101_%E5%80%8D%E6%95%B0%E3%83%BB%E7%B4%84%E6%95%B0problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/CR_IA/1a060101_%E7%B4%84%E6%95%B0%E3%83%BB%E5%80%8D%E6%95%B0.pdf]]

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*''類題演習'' [#kc7ff378]
**約数 [#i5846989]
//1.7-24北海道大・文1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2024/1.7-24%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%871problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2024/1.7-24%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%871.pdf]]~
約数の個数と総和について確認しておきましょう．~

//1.7-23東北大・後理4.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/1.7-23%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%864problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/1.7-23%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%864.pdf]]~
約数の総和について問われています．~



//1.7-22茨城大・後工2-4.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/1.7-22%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A52-4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/1.7-22%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A52-4.pdf]]~
まずは素因数分解しましょう．~


//1.7-20福島大・人文社会1-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%BA%BA%E6%96%87%E7%A4%BE%E4%BC%9A1-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%BA%BA%E6%96%87%E7%A4%BE%E4%BC%9A1-1.pdf]]

約数の個数，総和についての基本問題です．

//1.7-20早稲田大・政経1-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%B5%8C1-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%B5%8C1-1.pdf]]

20220を素因数分解します．~
途中，まだ分解できるか否かで悩まされることもあります．~
例えば337は素数ですか？合成数ですか？

//1.7-20湘南工科大・工2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%B9%98%E5%8D%97%E5%B7%A5%E7%A7%91%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A52problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%B9%98%E5%8D%97%E5%B7%A5%E7%A7%91%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A52.pdf]]

まずは素因数分解しましょう．

//1.7-19横浜市大・医1-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E6%A8%AA%E6%B5%9C%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB1-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E6%A8%AA%E6%B5%9C%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB1-1.pdf]]

整数を素因数分解したときの約数のあり方を絞っていきましょう．


**倍数 [#pf418cb9]
//1.7-22青森公立大・1-2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2022/1.7-22%E9%9D%92%E6%A3%AE%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2022/1.7-22%E9%9D%92%E6%A3%AE%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2.pdf]]~
まずはｍの範囲を絞りましょう．~

//1.7-21札幌医大・1-2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E6%9C%AD%E5%B9%8C%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E6%9C%AD%E5%B9%8C%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2.pdf]]~
連続した3整数の積は6の倍数です．~



//1.7-20東北大・後理2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%862problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%862.pdf]]~
6の倍数，8の倍数，24の倍数．(3)では対偶を考えましょう．~

//1.7-20奈良教大・教育1-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E5%A5%88%E8%89%AF%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B21-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E5%A5%88%E8%89%AF%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B21-1.pdf]]~
連続した3整数の積をつくるか，3で割った余りで場合分けして調べるかでしょう．~


//1.7-20長崎大・経済・環境・水産1-4.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E9%95%B7%E5%B4%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E7%92%B0%E5%A2%83%E3%83%BB%E6%B0%B4%E7%94%A31-4problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E9%95%B7%E5%B4%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E7%92%B0%E5%A2%83%E3%83%BB%E6%B0%B4%E7%94%A31-4.pdf]]~
連続したｋ個の整数の積はｋの倍数であることを利用しましょう．~

//1.7-20同志社女大・5-2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E5%90%8C%E5%BF%97%E7%A4%BE%E5%A5%B3%E5%A4%A7%E3%83%BB5-2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E5%90%8C%E5%BF%97%E7%A4%BE%E5%A5%B3%E5%A4%A7%E3%83%BB5-2.pdf]]~
「504」 を素因数分解することにより，n の因数が絞られます．

//1.7-19宮崎大・工・教・農5.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%AE%AE%E5%B4%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E6%95%99%E3%83%BB%E8%BE%B25problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%AE%AE%E5%B4%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E6%95%99%E3%83%BB%E8%BE%B25.pdf]]~
連続した３つの整数の積は６の倍数です．~

//1.7-16室蘭工大・3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2016/1.7-16%E5%AE%A4%E8%98%AD%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2016/1.7-16%E5%AE%A4%E8%98%AD%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB3answer.pdf]]~
(３)は二項定理を利用することもできます．~


//1.7-14茨城大・後教1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2014/1.7-14%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E6%95%991problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2014/1.7-14%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E6%95%991.pdf]]~
(1)は11の倍数であるための必要十分条件です．~
(2) (Nの5乗)－N が5の倍数であることを示すことになります．~
連続した5整数の積が現れるとうれしいのですが…．~

//1.7-10京都大・理乙5・0048201013.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2010/1.7-10%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E4%B9%995%E3%83%BB0048201013problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2010/1.7-10%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E4%B9%995%E3%83%BB0048201013.pdf]]~
(１)は自然数ｎについての命題です．数学的帰納法を用いましょう．~




**素数 [#nd63e324]
//1.7-23山梨大・後医1-3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2023/1.7-23%E5%B1%B1%E6%A2%A8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%8C%BB1-3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2023/1.7-23%E5%B1%B1%E6%A2%A8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%8C%BB1-3.pdf]]~
素因数分解をテーマにしたきれいな問題ですね．~



//1.7-21東京工大・3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB3.pdf]]~
(２)はカタラン数と呼ばれるものです．~
(３)「すべて求めよ．」とあるので，ｎの範囲は絞れるはずで，~
大きなｎは範囲から外れるはずです．~

//1.7-21お茶の水女大・理・文教・生科1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E3%81%8A%E8%8C%B6%E3%81%AE%E6%B0%B4%E5%A5%B3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E6%96%87%E6%95%99%E3%83%BB%E7%94%9F%E7%A7%911problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E3%81%8A%E8%8C%B6%E3%81%AE%E6%B0%B4%E5%A5%B3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E6%96%87%E6%95%99%E3%83%BB%E7%94%9F%E7%A7%911.pdf]]~
(１)ｋ＝２，３，５，７，11，…と素数を代入してみると様子が見えてきます．~
(２)は(３)のヒントでしょう．(３)は(２)を無視して背理法を用いることも可能です．~

//1.7-21京都大・理6-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%866-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%866-1.pdf]]~
a^n-b^n の因数分解と対偶を使います．~


//1.7-21京都大・文5.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%875problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%875.pdf]]~
ｐが小さいときは具体的に ｐ^4+14 を計算できますが，いつまでもこれを続けることはできません．~
ｐ^4+14 は素数でないことを示すのだから，ｐがある程度大きくなったときには，~
ｐ^4+14 が２で割り切れないか，３で割り切れないか，…と考えてみましょう．~

//1.7-21九州大・理系5.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%B9%9D%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB5problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%B9%9D%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB5.pdf]]~
(１)分母分子の因数1個ずつのペアを考え，ｎ≧ｋ＋２を利用しましょう．~
(１)は(２)のヒントです．

//1.7-20鹿児島大・理・工・医・歯・農・水産・獣・教1-1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E9%B9%BF%E5%85%90%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E8%BE%B2%E3%83%BB%E6%B0%B4%E7%94%A3%E3%83%BB%E7%8D%A3%E3%83%BB%E6%95%991-1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E9%B9%BF%E5%85%90%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E8%BE%B2%E3%83%BB%E6%B0%B4%E7%94%A3%E3%83%BB%E7%8D%A3%E3%83%BB%E6%95%991-1.pdf]]~
右辺は因数分解できます．~


**種々の問題 [#ue884866]


//1.7-19徳島大・理工・医(保)2.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%BE%B3%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB(%E4%BF%9D)2problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%BE%B3%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB(%E4%BF%9D)2.pdf]]~
(1)は(3)のヒント．~
(2)はｎを3で割った余りで分類しながらすべての場合を議論しましょう．~
(3)はf(n)を素因数分解したときの因数のあり方を調べましょう．~

//1.7-19徳島大・医・歯・薬1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%BE%B3%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E8%96%AC1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%BE%B3%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E8%96%AC1.pdf]]~
(1)は(3)のヒント．~
(2)はｎを3で割った余りで分類しながらすべての場合を議論しましょう．~
(3)はf(n)を素因数分解したときの約数のあり方を絞っていきましょう．~


//1.7-19大阪教大・3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%A4%A7%E9%98%AA%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB3problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%A4%A7%E9%98%AA%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB3.pdf]]~
(3)までは基本問題です．(4)はコツコツ数えていきましょう．~

//1.7-19金沢大・理工・医薬保健4.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E9%87%91%E6%B2%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E8%96%AC%E4%BF%9D%E5%81%A54problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E9%87%91%E6%B2%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E8%96%AC%E4%BF%9D%E5%81%A54.pdf]]~
互いに素をテーマにした問題です．~
(2)まで標準．(3)(4)の論証は差がつきます．~


//1.7-17大阪市大・文系1.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2018/1.7-18%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB1problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2018/1.7-18%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB1.pdf]]~
1からNまでの整数のうちpの倍数であるものの個数はN/pの整数部分(Nをpで割ったときの商)ですが，~
これを[N](ガウス記号)と表すことにしましょう．~


//1.7-17センタ本試IA・4.tex
[[&ref(http://kamelink.com/public/2017/1.7-17%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%BF%E6%9C%AC%E8%A9%A6IA%E3%83%BB4_cr%E5%95%8F%E9%A1%8C.png,nolink,80%,問題文をクリックしてみて下さい．);>http://kamelink.com/public/2017/1.7-17%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%BF%E6%9C%AC%E8%A9%A6IA%E3%83%BB4_cr.pdf]]


//1.7-03慶應大・理工3.tex
[[&ref(https://kamelink.com/public/2003/1.7-03%E6%85%B6%E6%87%89%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A53problem.png,nolink,70%,問題文をクリックしてみて下さい．);>https://kamelink.com/public/2003/1.7-03%E6%85%B6%E6%87%89%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A53.pdf]]~
(1)は公式として覚えている人もいるでしょう．~
(2)は(1)の応用です．
数学I・Aチェック＆リピート 第6章 §3整数の性質 1.倍数・約数 の変更点

数学I・Aチェック＆リピート　第6章　§3整数の性質　1.倍数・約数の変更点
