数学I・Aチェック&リピート
多面体
← 第6章 整数 : 倍数・約数 →
最大公約数,最小公倍数
問題文をクリックすると解答をみることができます.
倍数・約数 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](http://kamelink.com/public/CR_IA/1a060101_%E5%80%8D%E6%95%B0%E3%83%BB%E7%B4%84%E6%95%B0problem.png)
類題演習 †
約数 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/1.7-24%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%871problem.png)
約数の個数と総和について確認しておきましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/1.7-24%E4%B8%80%E6%A9%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%B5%8C%E6%B8%881problem.png)
左辺の因数分解,右辺の素因数分解から始めましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/1.7-24%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB5problem.png)
f(n)はオイラーのトーシェント関数(略してオイラー関数)と呼ばれています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/1.7-23%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%864problem.png)
約数の総和について問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/1.7-22%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%B7%A52-4problem.png)
まずは素因数分解しましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/1.7-22%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%8D%83%E6%AD%B3%E7%A7%91%E6%8A%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%B8%AD%E6%9C%9F%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A51-1problem.png)
求める最大のmとは,54!に含まれる素因数3の個数のことです.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%BA%BA%E6%96%87%E7%A4%BE%E4%BC%9A1-1problem.png)
約数の個数,総和についての基本問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%94%BF%E7%B5%8C1-1problem.png)
20220を素因数分解します.
途中,まだ分解できるか否かで悩まされることもあります.
例えば337は素数ですか?合成数ですか?
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%B9%98%E5%8D%97%E5%B7%A5%E7%A7%91%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A52problem.png)
まずは素因数分解しましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E6%A8%AA%E6%B5%9C%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB1-1problem.png)
整数を素因数分解したときの約数のあり方を絞っていきましょう.
倍数 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/1.7-23%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%8D%83%E6%AD%B3%E7%A7%91%E6%8A%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E4%B8%AD%E6%9C%9F%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A51-2problem.png)
9の倍数である条件が問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/1.7-22%E9%9D%92%E6%A3%AE%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2problem.png)
まずはmの範囲を絞りましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E6%9C%AD%E5%B9%8C%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB1-2problem.png)
連続した3整数の積は6の倍数です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%862problem.png)
6の倍数,8の倍数,24の倍数.(3)では対偶を考えましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E5%A5%88%E8%89%AF%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B21-1problem.png)
連続した3整数の積をつくるか,3で割った余りで場合分けして調べるかでしょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E9%95%B7%E5%B4%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%83%BB%E7%92%B0%E5%A2%83%E3%83%BB%E6%B0%B4%E7%94%A31-4problem.png)
連続したk個の整数の積はkの倍数であることを利用しましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E5%90%8C%E5%BF%97%E7%A4%BE%E5%A5%B3%E5%A4%A7%E3%83%BB5-2problem.png)
「504」 を素因数分解することにより,n の因数が絞られます.
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連続した3つの整数の積は6の倍数です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2016/1.7-16%E5%AE%A4%E8%98%AD%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB3problem.png)
(3)は二項定理を利用することもできます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2015/1.7-15%E9%9D%92%E6%A3%AE%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB4problem.png)
f(n)の分子は連続した4整数の積です.必ず含まれる約数に着目しましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2014/1.7-14%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E6%95%991problem.png)
(1)は11の倍数であるための必要十分条件です.
(2) (Nの5乗)−N が5の倍数であることを示すことになります.
連続した5整数の積が現れるとうれしいのですが….
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(1)は自然数nについての命題です.数学的帰納法を用いましょう.
素数 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/1.7-24%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB3problem.png)
証明の糸口が問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/1.7-23%E5%B1%B1%E6%A2%A8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E5%8C%BB1-3problem.png)
素因数分解をテーマにしたきれいな問題ですね.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB3problem.png)
(2)はカタラン数と呼ばれるものです.
(3)「すべて求めよ.」とあるので,nの範囲は絞れるはずで,
大きなnは範囲から外れるはずです.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E3%81%8A%E8%8C%B6%E3%81%AE%E6%B0%B4%E5%A5%B3%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E6%96%87%E6%95%99%E3%83%BB%E7%94%9F%E7%A7%911problem.png)
(1)k=2,3,5,7,11,…と素数を代入してみると様子が見えてきます.
(2)は(3)のヒントでしょう.(3)は(2)を無視して背理法を用いることも可能です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%866-1problem.png)
a^n-b^n の因数分解と対偶を使います.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%875problem.png)
pが小さいときは具体的に p^4+14 を計算できますが,いつまでもこれを続けることはできません.
p^4+14 は素数でないことを示すのだから,pがある程度大きくなったときには,
p^4+14 が2で割り切れないか,3で割り切れないか,…と考えてみましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/1.7-21%E4%B9%9D%E5%B7%9E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB5problem.png)
(1)分母分子の因数1個ずつのペアを考え,n≧k+2を利用しましょう.
(1)は(2)のヒントです.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/1.7-20%E9%B9%BF%E5%85%90%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E8%BE%B2%E3%83%BB%E6%B0%B4%E7%94%A3%E3%83%BB%E7%8D%A3%E3%83%BB%E6%95%991-1problem.png)
右辺は因数分解できます.
種々の問題 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%BE%B3%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB(%E4%BF%9D)2problem.png)
(1)は(3)のヒント.
(2)はnを3で割った余りで分類しながらすべての場合を議論しましょう.
(3)はf(n)を素因数分解したときの因数のあり方を調べましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%BE%B3%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E8%96%AC1problem.png)
(1)は(3)のヒント.
(2)はnを3で割った余りで分類しながらすべての場合を議論しましょう.
(3)はf(n)を素因数分解したときの約数のあり方を絞っていきましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E5%A4%A7%E9%98%AA%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB3problem.png)
(3)までは基本問題です.(4)はコツコツ数えていきましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2019/1.7-19%E9%87%91%E6%B2%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB%E8%96%AC%E4%BF%9D%E5%81%A54problem.png)
互いに素をテーマにした問題です.
(2)まで標準.(3)(4)の論証は差がつきます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2018/1.7-18%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB1problem.png)
1からNまでの整数のうちpの倍数であるものの個数はN/pの整数部分(Nをpで割ったときの商)ですが,
これを[N](ガウス記号)と表すことにしましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](http://kamelink.com/public/2017/1.7-17%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%BF%E6%9C%AC%E8%A9%A6IA%E3%83%BB4_cr%E5%95%8F%E9%A1%8C.png)
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2003/1.7-03%E6%85%B6%E6%87%89%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A53problem.png)
(1)は公式として覚えている人もいるでしょう.
(2)は(1)の応用です.