夏期数学IIB頻出三角関数のバックアップ(No.4)

夏期　数学IIB頻出
【1】～【2】指数・対数
 【3】～【5】三角関数
 【6】～【9】図形と方程式

問題文をクリックすると解答をみることができます．

2倍角の公式
- $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
- $\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$
三角関数の合成の手順
① をでくくる
② ，の係数を同じ角の，に置きかえる
③ 加法定理で式を求める
- $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$
  　　ただし $\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ， $\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
- $a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)$
  　　ただし $\cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ， $\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

αは第2象限，βは第3象限の角なので，α＋βは(3π)/2<α＋β<(5π)/2の範囲の角です．この範囲で sin は単調増加です．

(1)2倍角の公式の確認です．
(2)π/4，α，π/3のsin または cos の値の大小を比較します．
(3)(1)があるので，まずはπ/6，2β，π/3のcosの値の大小を抑えましょう．

sin，cos を合成して変数を1つにまとめましょう．あとは角の変域に注意します．

yはxの2次関数となります．ｘのとり得る値の範囲に注意してyの最大値と最小値を求めます．

左辺を合成してθを一つにまとめます．合成したときの角の範囲のうちθが2個存在する範囲を単位円の中で抑えましょう．

与えられた方程式は sin x=t とおくとtの2次方程式になります．(1)はtに対応するxの個数に注意しなさいという(2)のヒントです．

三角関数の最大値・最小値の求め方
- (i)　 $\sin x$ や $\cos x$ などの1つの関数で式を表し，式の値域を $-1\leq \sin x\leq 1$ や $-1\leq \cos x\leq 1$ の範囲で求める．
- (ii)　 $a\sin x+b\cos x$ は合成の公式で変数を1か所にまとめる．
- (iii) 和積の公式，積和の公式を用いて1つの三角関数にする．
- (iv)　微分を利用する．
積和の公式
　　 $\sin \alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}$
　　 $\cos \alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}$
　　 $\cos \alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}$
　　 $\sin \alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}$
和積の公式
　　 $\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
　　 $\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
　　 $\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
　　 $\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$