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夏期 数学IIB頻出
【1】〜【2】指数・対数
【3】〜【5】三角関数
【6】〜【9】図形と方程式
【10】〜【12】ベクトル
【13】〜【16】数列


問題文をクリックすると解答をみることができます.


【3】 2倍角の公式,合成の公式

  • 2倍角の公式
    • \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta
    • \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta
  • 三角関数の合成の手順
    a\sin\theta+b\cos\theta\sqrt{a^2+b^2} でくくる
    \sin\theta\cos\theta の係数を同じ角の \cos\sin に置きかえる
    加法定理で式を求める
    • a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)
        ただし \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
    • a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)
        ただし \cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}

問題文をクリックしてみて下さい.

αは第2象限,βは第3象限の角なので,α+βは(3π)/2<α+β<(5π)/2の範囲の角です.この範囲で sin は単調増加です.

問題文をクリックしてみて下さい.

(1)2倍角の公式の確認です.
(2)π/4,α,π/3のsin または cos の値の大小を比較します.
(3)(1)があるので,まずはπ/6,2β,π/3のcosの値の大小を抑えましょう.

問題文をクリックしてみて下さい.

sin,cos を合成して変数を1つにまとめましょう.あとは角の変域に注意します.

問題文をクリックしてみて下さい.

yはxの2次関数となります.xのとり得る値の範囲に注意してyの最大値と最小値を求めます.

【4】 三角方程式の解の個数

  • a,bを実数とするとき,\cos \theta=a\sin \theta=bを満たす実数 \theta が存在する条件は
      a^2+b^2=1
    である.
  • 三角方程式を t=\sin\theta と置き換えたときは,t\theta の対応関係にも注意すること.

問題文をクリックしてみて下さい.

左辺を合成してθを一つにまとめます.合成したときの角の範囲のうちθが2個存在する範囲を単位円の中で抑えましょう.

問題文をクリックしてみて下さい.

与えられた方程式は sin x=t とおくとtの2次方程式になります.(1)はtに対応するxの個数に注意しなさいという(2)のヒントです.

【5】 三角関数の応用

  • 三角関数の最大値・最小値の求め方
    • (i) \sin x\cos x などの1つの関数で式を表し, 式の値域を -1\leq \sin x\leq 1-1\leq \cos x\leq 1 の範囲で求める.
    • (ii) a\sin x+b\cos x は合成の公式で変数を1か所にまとめる.
    • (iii) 和積の公式,積和の公式を用いて1つの三角関数にする.
    • (iv) 微分を利用する.
  • 積和の公式
      \sin \alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
      \cos \alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}
      \cos \alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}
      \sin \alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}
  • 和積の公式
      \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
      \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
      \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
      \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

問題文をクリックしてみて下さい.

(i)正弦定理により三角形の辺の長さを sin で表すことができます.
(ii)三角形の内角の総和がπであることを利用するとSはαの関数として表すことができます.積和の公式を利用を考えてもよいでしょう.

問題文をクリックしてみて下さい.

S=△OAB+△PABです.(1),(2)とも何が固定されていて,何が動くのかを把握しましょう.
どちらもSは1変数関数として表すことができます.


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Last-modified: 2018-09-03 (月) 16:44:00 (75d)