数学II・Bチェック&リピート
群数列
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2項間漸化式a_{n+1}=a_n+q(n)
問題文をクリックすると解答をみることができます.
数学的帰納法 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](http://kamelink.com/public/CR_IIB/2b070201_%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95problem.png)
類題演習 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/2.2-24%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%862%E6%96%873problem.png)
数学的帰納法が利用できます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/10.5-24%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BB4problem.png)
漸化式と不定方程式がキレイに融合した問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/10.5-24%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%B5%B7%E6%B4%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%94%9F%E5%91%BD%E3%83%BB%E8%B3%87%E6%BA%905problem.png)
ノーヒントで出題したくなる問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/10.5-23%E5%AF%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E8%96%AC3problem.png)
(3)は指数法則に注意しながら数学的帰納法を用います.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/10.5-23%E4%B8%89%E9%87%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E3%83%BB%E5%B7%A51-1problem.png)
後半は前半の不等式を利用します.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/10.7-23%E9%AB%98%E7%9F%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B24problem.png)
(3)が示されれば,(2)は成り立ちますね.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/10.5-23%E4%BC%9A%E6%B4%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E7%90%86%E5%B7%A56problem.png)
推定して証明するという帰納法の基本パターンです.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/10.5-22%E5%BA%83%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB3problem.png)
(2),(3)は(4)のヒントになっています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/10.5-22%E7%86%8A%E6%9C%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E5%8C%BB(%E7%9C%8B%E8%AD%B7)3problem.png)
自然数nについての命題なので数学的帰納法を用いましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/10.6-22%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%8D%83%E6%AD%B3%E7%A7%91%E6%8A%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A52-1problem.png)
数学的帰納法を利用しましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/10.5-22%E5%85%AC%E7%AB%8B%E3%81%AF%E3%81%93%E3%81%A0%E3%81%A6%E6%9C%AA%E6%9D%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E6%83%854problem.png)
(2)では sin nθ は cos θ の n-1次多項式 fn(x) と sin θ の積で表すことができることを示しています.
fn(x) は第2種のチェビシェフの多項式と呼ばれています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/10.5-22%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E7%B3%BBA6problem.png)
(1)は(2)の準備です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](http://kamelink.com/public/2021/10.6-21%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%864problem.png)
(2)(3)は数学的帰納法を用いましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/1.9-21%E7%A5%9E%E6%88%B8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%861problem.png)
(1)で状況をみて,(2)で推定し,帰納法で確認するという流れでしょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/10.5-21%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%8D%83%E6%AD%B3%E7%A7%91%E6%8A%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A52problem.png)
数学的帰納法と解法が指定されていますが,
合同式を使うこともできます(もちろん,試験場では帰納法です).
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/10.6-20%E6%84%9B%E7%9F%A5%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB3problem.png)
推測して数学的帰納法で示すタイプの典型問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2019/10.5-19%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%B5%B7%E6%B4%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%94%9F%E5%91%BD%E3%83%BB%E8%B3%87%E6%BA%903problem.png)
(1),(2)とも数学的帰納法を用いましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2016/10.5-16%E6%84%9B%E7%9F%A5%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB2problem.png)
整数絡みの帰納法の基本問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2016/10.5-16%E6%84%9B%E7%9F%A5%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB5problem.png)
整数絡みで帰納法を用いる頻出問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2015/10.6-15%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%864problem.png)
(3)の数列はフィボナッチ数列とよばれていすものであり,
数列{p_n}はフィボナッチ数列の奇数項を並べた数列です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2015/10.5-15%E6%B4%A5%E7%94%B0%E5%A1%BE%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%AD%A6%E8%8A%B8(%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E9%96%A2%E4%BF%82)1-1problem.png)
n=1のときとn≧2のときで分けなければならないのですが,この場合分けに辿り着くか…
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2013/10.7-13%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB1-1problem.png)
自然数nについての命題なので数学的帰納法を用いましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2013/10.5-13%E6%98%8E%E6%B2%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%B7%8F%E5%90%88%E6%95%B0%E7%90%864problem.png)
「数学的帰納法を用いよ」とありますが,左辺の和を直接計算することもできます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2010/10.5-10%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%94%B24%E3%83%BB0048201004problem.png)
n≦ k での成立を仮定する数学的帰納法です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2008/10.5-08%E4%BC%9A%E6%B4%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E7%90%86%E5%B7%A56problem.png)
自然数nについての命題なので数学的帰納法を用います.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2008/10.5-08%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86(%E6%95%B0)6problem.png)
1,2,…,nとn個の数との積の和の最小値を考察しています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2008/10.5-08%E5%A4%A7%E9%98%AA%E8%96%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB1-4problem.png)
自然数nについての命題なので数学的帰納法を用います.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/1997/10.5-97%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%871problem.png)
a,bついての対称式なので,基本対称式a+b,abで式を処理しましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/1988/10.5-88%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%B8%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%8C%BB2problem.png)
n=1,2,3,…,kでの成立を仮定して,n=k+1での成立を示します.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/1987/10.8-87%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%865problem.png)
式を展開し,整理した結果を数学的帰納法を用いて証明しましょう.
凸関数と数学的帰納法 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](http://kamelink.com/public/2017/10.5-17%E9%A0%86%E5%A4%A9%E5%A0%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB3problem.png)
凸関数についての問題です.
(2)2個の数で成り立つ不等式は,4個,8個,16個,…でも成り立ちます.これを
数学的帰納法で示します.
(3)で突如積分.さてどうするか(数学III).
カタラン数と数学的帰納法 †
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(1),(2)は(3)の準備であり,(3)は数学的帰納法を用いましょう.
難問ですね.