数学IIIチェック&リピート
パラメータ表示された曲線と面積
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体積(非回転体)
問題文をクリックすると解答をみることができます.
体積(回転体) †
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類題演習 †

x軸まわりおよびy軸まわりの回転体の体積が問われています.

計算力も試されています.

正確な計算力が求められています.

計算力が試されています.

回転軸が直線x=3であることに注意しましょう.

面積,体積の計算により計算力が試されています.

中身の詰まったトーラス(円環面)の体積

正確な計算力が試されています.

逆関数と面積・体積を絡めて積分の基本を問うています.

(1)は(2)のヒントになっています.

計算ミスに注意しましょう.

まずは接点の座標を求めましょう.

(3)は(4)のヒントです.

面積,体積の確認問題です.

体積の計算は2通り考えられます.

y軸まわりの回転体の体積が問われています.

体積計算で差がでそうです.

(2)で極値であることを増減表で示すか,y’’を利用するか.
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積分変数の扱いが問われています.

(2)は(3)の準備です.

面積,体積についての確認問題です.

傾き 1 の直線のまわりの回転体の体積です.

切り口は円の周および内部です.

(1)(2)(3)は(4)の準備です.

体積の立式に困ることはないでしょう.あとは計算力が試されます.

(3)では場合分けが生じます.

Cは「カッシーニの卵形線」と呼ばれている曲線です.

(3)の積分がヤマでしょう.

微分積分の基本事項が問われています.

回転軸と垂直な平面による切り口を考えましょう.

半径rの値による場合分けが必要です.

(2)を利用してバームクーヘン型の積分公式を導きます.

(2) 増減表をかかなくても「f’=0 と f''の符号」で極値を判定することができます.

(2)(3)の計算は置換積分法を用います.

x軸のまわり,y軸のまわりの回転体の体積を問うています.

傾き -1 の直線のまわりの回転体の体積です.

PをS上に固定すると,線分PQは円錐の側面を描きます.

(3)の積分計算をどのように処理するか?

誘導にのりながら進みましょう.

接線,体積,最小値と微分法,積分法の基本事項が問われています.

(2)は頻出問題です.(3)では部分積分を繰り返します.計算力が問われています.

面積,体積の計算はラクです.

微分(微分可能性,最大値)と積分(体積)の融合問題となっています.
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(2)回転体の切り口は,もとの図形の切り口を回転した図形です.

(4)は(5)の計算のヒントになっています.

(1)は2次方程式の解の配置,(2)はy軸まわりの回転体の体積です.確実に得点したい問題です.

手が止まることはありません.

回転軸と垂直な面の切り口を考えます.

計算力が試されています.

教科書の例題に載るような基本問題です.

体積と最小値を問う微積混合の標準問題です.

回転面を回転させたときの通過領域の体積とは凝った問題ですね.
回転軸に垂直な平面による切り口を考えていきましょう.

(1)内心の定義を確認しておきましょう.
(2)パラメータ表示のまま体積計算するか,
y=f(x)の関係式に直して体積計算するかわかれます.

yの範囲に対応するxに注意して体積を計算しましょう.

面積,体積を通して積分の計算力が問われています.

接線,法線,回転体の体積を確認しておきましょう.

教科書では例題として登場する問題です.

共通接線と回転体の体積を組み合わせた必須問題です.

y=x のまわりに回転して得られる回転体の体積が小問のひとつです.
かなりの計算力が要求されていることが分かります.

(1)は(2)の準備です.体積は2曲線の交点のx座標を求めることから始めましょう.

回転体の断面はもとの図形の切り口を回転させてできる図形です.