数学IIIチェック&リピート
パラメータ表示された曲線と面積体積(回転体)体積(非回転体)


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体積(回転体)

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類題演習

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x軸まわりおよびy軸まわりの回転体の体積が問われています.

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面積,体積の計算により計算力が試されています.

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逆関数と面積・体積を絡めて積分の基本を問うています.

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計算ミスに注意しましょう.

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まずは接点の座標を求めましょう.

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(3)は(4)のヒントです.

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面積,体積の確認問題です.

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体積の計算は2通り考えられます.

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y軸まわりの回転体の体積が問われています.

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体積計算で差がでそうです.

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(2)で極値であることを増減表で示すか,y’’を利用するか.

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積分変数の扱いが問われています.

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(2)は(3)の準備です.

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面積,体積についての確認問題です.

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傾き 1 の直線のまわりの回転体の体積です.

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切り口は円の周および内部です.

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微分積分の基本事項が問われています.

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(1)(2)(3)は(4)の準備です.

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体積の立式に困ることはないでしょう.あとは計算力が試されます.

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(3)では場合分けが生じます.

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Cは「カッシーニの卵形線」と呼ばれている曲線です.

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(3)の積分がヤマでしょう.

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回転軸と垂直な平面による切り口を考えましょう.

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半径rの値による場合分けが必要です.

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(2)を利用してバームクーヘン型の積分公式を導きます.

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(2) 増減表をかかなくても「f’=0 と f''の符号」で極値を判定することができます.

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x軸のまわり,y軸のまわりの回転体の体積を問うています.

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傾き -1 の直線のまわりの回転体の体積です.

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(3)の積分計算をどのように処理するか?

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誘導にのりながら進みましょう.

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接線,体積,最小値と微分法,積分法の基本事項が問われています.

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(2)は頻出問題です.(3)では部分積分を繰り返します.計算力が問われています.

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微分(微分可能性,最大値)と積分(体積)の融合問題となっています.

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(2)回転体の切り口は,もとの図形の切り口を回転した図形です.

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(4)は(5)の計算のヒントになっています.

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(1)は2次方程式の解の配置,(2)はy軸まわりの回転体の体積です.確実に得点したい問題です.

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手が止まることはありません.

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計算力が試されています.

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体積と最小値を問う微積混合の標準問題です.

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回転面を回転させたときの通過領域の体積とは凝った問題ですね.
回転軸に垂直な平面による切り口を考えていきましょう.

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(1)内心の定義を確認しておきましょう.
(2)パラメータ表示のまま体積計算するか,
y=f(x)の関係式に直して体積計算するかわかれます.

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yの範囲に対応するxに注意して体積を計算しましょう.

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面積,体積を通して積分の計算力が問われています.

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教科書では例題として登場する問題です.

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共通接線と回転体の体積を組み合わせた必須問題です.

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y=x のまわりに回転して得られる回転体の体積が小問のひとつです.
かなりの計算力が要求されていることが分かります.

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(1)は(2)の準備です.体積は2曲線の交点のx座標を求めることから始めましょう.

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回転体の断面はもとの図形の切り口を回転させてできる図形です.


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Last-modified: 2024-04-05 (金) 10:09:36 (7d)