数学IIIチェック&リピート
パラメータ表示された曲線と面積
← 体積(回転体) →
体積(非回転体)
問題文をクリックすると解答をみることができます.
体積(回転体) †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](http://kamelink.com/public/CR_III/3050204_%E4%BD%93%E7%A9%8D(%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E4%BD%93)problem.png)
類題演習 †
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/15.6-24%E5%8C%97%E6%B5%B7%E9%81%93%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E3%83%BB%E5%B7%A54problem.png)
x軸まわりおよびy軸まわりの回転体の体積が問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/15.6-24%E8%B1%8A%E6%A9%8B%E6%8A%80%E7%A7%91%E5%A4%A7%EF%BD%A53problem.png)
面積,体積の計算により計算力が試されています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/15.6-24%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB4problem.png)
中身の詰まったトーラス(円環面)の体積
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2024/15.6-24%E6%9C%AD%E5%B9%8C%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB4problem.png)
逆関数と面積・体積を絡めて積分の基本を問うています.
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(1)は(2)のヒントになっています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E5%B2%A9%E6%89%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A54-3problem.png)
計算ミスに注意しましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E5%B2%A9%E6%89%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E5%B7%A51-2problem.png)
まずは接点の座標を求めましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A54problem.png)
(3)は(4)のヒントです.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A54problem.png)
面積,体積の確認問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E8%BE%B2%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E8%BE%B2%E3%83%BB%E5%B7%A53problem.png)
体積の計算は2通り考えられます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E9%9B%BB%E6%B0%97%E9%80%9A%E4%BF%A1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C2problem.png)
y軸まわりの回転体の体積が問われています.
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体積計算で差がでそうです.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E8%B1%8A%E6%A9%8B%E6%8A%80%E7%A7%91%E5%A4%A7%EF%BD%A53problem.png)
(2)で極値であることを増減表で示すか,y’’を利用するか.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E5%AF%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86(%E6%95%B0)1problem.png)
積分変数の扱いが問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E4%B8%89%E9%87%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E7%94%9F%E8%B3%873-1problem.png)
(2)は(3)の準備です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E4%B8%89%E9%87%8D%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A53problem.png)
面積,体積についての確認問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E9%B3%A5%E5%8F%96%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB%E3%83%BB%E5%B7%A53problem.png)
傾き 1 の直線のまわりの回転体の体積です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E5%85%AC%E7%AB%8B%E5%8D%83%E6%AD%B3%E7%A7%91%E6%8A%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A54problem.png)
切り口は円の周および内部です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E9%83%BD%E7%AB%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%86%E3%83%BB%E9%83%BD%E5%B8%82%E7%92%B0%E5%A2%83%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E3%83%87%E3%82%B6%E3%82%A4%E3%83%B34-3problem.png)
(1)(2)(3)は(4)の準備です.
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体積の立式に困ることはないでしょう.あとは計算力が試されます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E6%97%A9%E7%A8%B2%E7%94%B0%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A55problem.png)
(3)では場合分けが生じます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E9%96%A2%E8%A5%BF%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB4-1problem.png)
Cは「カッシーニの卵形線」と呼ばれている曲線です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2023/15.6-23%E9%96%A2%E8%A5%BF%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB4-2problem.png)
(3)の積分がヤマでしょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E6%9C%AD%E5%B9%8C%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB4problem.png)
微分積分の基本事項が問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E5%B2%A9%E6%89%8B%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A53-3problem.png)
回転軸と垂直な平面による切り口を考えましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB6problem.png)
半径rの値による場合分けが必要です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%866problem.png)
(2)を利用してバームクーヘン型の積分公式を導きます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E7%A6%8F%E5%B3%B6%E5%A4%A7%E3%83%BB%E6%96%87%E5%8C%965problem.png)
(2) 増減表をかかなくても「f’=0 と f''の符号」で極値を判定することができます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E8%8C%A8%E5%9F%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A54problem.png)
x軸のまわり,y軸のまわりの回転体の体積を問うています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/12.4-22%E7%BE%A4%E9%A6%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB4problem.png)
傾き -1 の直線のまわりの回転体の体積です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%865problem.png)
PをS上に固定すると,線分PQは円錐の側面を描きます.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E5%AF%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%863problem.png)
(3)の積分計算をどのように処理するか?
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/12.4-22%E5%92%8C%E6%AD%8C%E5%B1%B1%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E5%B7%A55problem.png)
誘導にのりながら進みましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E9%95%B7%E5%B4%8E%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E6%AD%AF%E3%83%BB%E6%95%99%E8%82%B2%E3%83%BB%E8%96%AC6%E3%83%BB%E6%83%85%E5%A0%B19problem.png)
接線,体積,最小値と微分法,積分法の基本事項が問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A5A4problem.png)
(2)は頻出問題です.(3)では部分積分を繰り返します.計算力が問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E6%85%88%E6%81%B5%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB2problem.png)
微分(微分可能性,最大値)と積分(体積)の融合問題となっています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/12.4-22%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E7%90%86%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86(%E5%BF%9C%E6%95%B0%E3%83%BB%E5%BF%9C%E7%89%A9%E3%83%BB%E5%BF%9C%E5%8C%96)1-1problem.png)
(2)回転体の切り口は,もとの図形の切り口を回転した図形です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2022/15.6-22%E7%AB%8B%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%862problem.png)
(4)は(5)の計算のヒントになっています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/15.6-21%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%BE%8C%E7%90%864problem.png)
(1)は2次方程式の解の配置,(2)はy軸まわりの回転体の体積です.確実に得点したい問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/15.6-21%E8%B1%8A%E6%A9%8B%E6%8A%80%E7%A7%91%E5%A4%A7%EF%BD%A53problem.png)
手が止まることはありません.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2021/15.6-21%E6%9C%AD%E5%B9%8C%E5%8C%BB%E5%A4%A7%E3%83%BB4problem.png)
計算力が試されています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/15.6-20%E5%AE%87%E9%83%BD%E5%AE%AE%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%B7%A5%E3%83%BB%E5%9C%B0%E3%83%876problem.png)
体積と最小値を問う微積混合の標準問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/15.6-20%E4%BA%AC%E9%83%BD%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%866problem.png)
回転面を回転させたときの通過領域の体積とは凝った問題ですね.
回転軸に垂直な平面による切り口を考えていきましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/15.6-20%E7%A5%9E%E6%88%B8%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%862problem.png)
(1)内心の定義を確認しておきましょう.
(2)パラメータ表示のまま体積計算するか,
y=f(x)の関係式に直して体積計算するかわかれます.
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yの範囲に対応するxに注意して体積を計算しましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2020/15.6-20%E5%85%AC%E7%AB%8B%E3%81%AF%E3%81%93%E3%81%A0%E3%81%A6%E6%9C%AA%E6%9D%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%82%B9%E6%83%856problem.png)
面積,体積を通して積分の計算力が問われています.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2018/15.6-18%E5%A5%88%E8%89%AF%E6%95%99%E5%A4%A7%E3%83%BB4problem.png)
教科書では例題として登場する問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2017/15.6-17%E5%AE%A4%E8%98%AD%E5%B7%A5%E5%A4%A7%E3%83%BB2problem.png)
共通接線と回転体の体積を組み合わせた必須問題です.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](http://kamelink.com/public/2017/12.4-17%E9%A0%86%E5%A4%A9%E5%A0%82%E5%A4%A7%E3%83%BB%E5%8C%BB1-2problem.png)
y=x のまわりに回転して得られる回転体の体積が小問のひとつです.
かなりの計算力が要求されていることが分かります.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2016/15.6-16%E4%BD%90%E8%B3%80%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E5%B7%A52problem.png)
(1)は(2)の準備です.体積は2曲線の交点のx座標を求めることから始めましょう.
![問題文をクリックしてみて下さい. 問題文をクリックしてみて下さい.](https://kamelink.com/public/2013/15.6-13%E5%A4%A7%E9%98%AA%E5%A4%A7%E3%83%BB%E7%90%86%E7%B3%BB4problem.png)
回転体の断面はもとの図形の切り口を回転させてできる図形です.