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2025-04-20

2025-04-19

2025-04-18

2025-04-17

数学II・Bチェック＆リピート　第8章　§2内積の計算　8.ベクトル方程式

2025-04-16

数学II・Bチェック＆リピート　第7章　§1いろいろな数列　3.等比数列

2025-04-14

東北大学
帯広畜産大学

2025-04-12

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このページでは東北大学の過去問を扱っています．

年度別・分野別は東北大学の問題閲覧です．分野別は頻出分野・不得意分野の演習にご利用下さい．

出題意図は毎年6月から10月まで東北大学がHPに載せているものです．
2002年から出題意図の掲載が始まりました．
問題を解いた後読むと，東北大学が受験生に何を求めているのか，採点状況がどうであったかがみえてきます．
答案をかくときの参考にして下さい．

入試問題研究会は高校の先生方を対象にした研究会での資料です．
再現答案も盛り込まれています．他の人の答案を見るのも答案作成の参考になると思います．
自分の考え方を採点者に届ける答案になっているか，いま一度見直してみましょう．
解像度の問題なのか，文字が読み取れないものがあるかもしれません(拡大すると見えるかもしれません)．
「志願者へのメッセージ（18年）」では
「東北大学の数学では，論理とその表現能力を見ています．式・計算・答え，それぞれを得るに至った論理や過程を，わかりやすい言葉と丁寧な文字で伝えてください．」
という記述があります．

ブックマーク †

/東北大学(大学入試数学問題集成)：1988年からの問題をみることができます．

「第？問」の部分をクリックすると問題文と解答例を見ることができます．

理系年度別　/ 理系分野別
 文系年度別　/ 文系分野別

2025年 †

理系・前期
 第1問=文1　数A(確率)　数直線上のランダムウォーク
第2問=文2　数B(数列)　連立漸化式
第3問　数II(微分)　4次関数の極大値
第4問　数III(積分)　接する2曲線と面積，eの定義
第5問　数B(空間ベクトル)　球面
第6問　数II(三角関数)　正五角形の回転
文系・前期
 第1問=理1　数A(確率)　数直線上のランダムウォーク
第2問=理2　数B(数列)　連立漸化式

2024年 †

出題意図(6月～5月)

理系・前期
 第1問=文1　数II(積分)　直線と放物線で囲まれた図形の面積
第2問=文3　数B(数列)　数学的帰納法を利用する対数不等式
第3問　数A・B・III(確率と漸化式)　カードAとBの並べ方
第4問　数B(空間ベクトル)　空間における円のベクトル方程式
第5問　数III(微分)　不定方程式への応用
第6問　数III(積分)　円錐の側面における図形の面積

文系・前期
 第1問=理1　数II(積分)　直線と放物線で囲まれた図形の面積
第2問　数II，数A(三角関数，図形の性質)　tanの加法定理と方べきの定理
第3問=理2　数B(数列)　数学的帰納法を利用する対数不等式
第4問　数B，数A(数列，整数)　漸化式と不定方程式の融合問題

2023年 †

出題意図HP(6月～)

理系・前期
 第1問=文1　数A(確率)　赤玉白玉を取り出すゲーム
第2問　数III(数列の極限)　三角方程式の解の個数と極限，はさみうちの原理
第3問　数B(数列)　２項間漸化式と和の計算
第4問　数III(複素数)　1の5乗根
第5問　数B(空間ベクトル)　四面体の頂点から対面に下ろした垂線の足
第6問　数III(積分)　線分の通過領域の面積
理系・後期
第1問　数II(図形と方程式)　不等式で表された領域
第3問=文3　数B(空間ベクトル)　内積の計算
第4問　数A(整数)　約数の総和
第5問　数III(複素数平面)　直線を境界とする領域
第6問　数III(積分)　定積分と不等式，はさみうちの原理

文系・前期
 第1問=理1　数A(確率)　赤玉白玉を取り出すゲーム
第2問　数I(三角比)　外接円・内接円の半径
第3問　数I(2次関数)　2次関数の最大・最小(場合分け)
第4問　数II(微分積分)　線分の通過領域の面積
文系・後期
第1問　数II(対数)　対数不等式
第3問=理3　数B(空間ベクトル)　内積の計算
第4問　数II(積分)　関数の決定，最大・最小

2022年 †

理系・前期
 第1問=文1　数A(場合の数)　3つの奇数の和の組
第2問　数II(微分)　4次関数の最小値
第3問　数III(数列の極限)　無限級数とはさみうちの原理
第4問　数III(関数の極限)　角の二等分線，2円が外接する条件および極限
第5問　数B(空間ベクトル)　2直線の共通垂線
第6問　数III(積分)　直円柱と半球の共通部分の体積
理系・後期
 第1問>文1　数II(積分)　2つの図形の面積比の極限
第2問　数A(整数)　3次方程式の整数解
第3問　数B(平面ベクトル)　2つの三角形の面積比の最小値
第4問=文4　数A(確率)　袋A，Bに玉を移動するときの確率
第5問　数III(微分)　2円と直線で囲まれた部分の面積の最大
第6問　数III(積分)　y軸まわりの回転体の体積

文系・前期
 第1問=理1　数A(場合の数)　3つの奇数の和の組
第2問　数II(積分)　絶対値がついた関数の定積分の最小値
第3問　数II(図形と方程式)　領域における最大・最小
第4問　数B(空間ベクトル)　四面体の体積
文系・後期
 第1問<理1　数II(積分)　面積の最小値
第2問　数II(三角関数)　cosα，sinαを解とする2次方程式
第3問　数II(平面ベクトル，三角関数)　三角形の面積を最大にする点
第4問=理4　数A(確率)　袋A，Bに玉を移動するときの確率

2021年　共通テスト開始 †

出題意図　

理系・前期
 第1問=文1　数II(方程式)　曲線がx軸の正の部分と共有点をもたない条件
第2問　数A(整数)　三角形の面積比が整数となる条件
第3問=文2　数A(場合の数)　正八角形の頂点を結んでできる三角形・四角形
第4問　数II(面積)　3次関数のグラフと直線の共有点についての軌跡・面積
第5問　数III(複素数平面)　複素数平面上における二等辺三角形の最大面積
第6問　数III(積分)　自然対数の底の評価
理系・後期
 第1問=文1　数A(整数)　1次不定方程式の解の存在条件と正の解の組
第2問=文2　数B(空間ベクトル)　直円錐の体積の最大値
第3問　数II(図形と方程式)　２円の位置関係と２次方程式の解
第4問　数III(体積)　放物線と円の交点，y軸まわりの回転体の体積
第5問　数III(無限級数)　無限級数とはさみうちの原理
第6問　数B(空間ベクトル)　球と平面

文系・前期
 第1問=理1　数II(方程式)　曲線がx軸の正の部分と共有点をもたない条件
第2問=理3　数A(場合の数)　正八角形の頂点を結んでできる三角形・四角形
第3問　数I(三角比)　余弦定理と２円の共通部分の面積
第4問　数II(面積)　共通接線，放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積
文系・後期
 第1問=理1　数A(整数)　1次不定方程式の解の存在条件と正の解の組
第2問=理2　数B(空間ベクトル)　直円錐の体積の最大値
第3問　数II(図形と方程式)　放物線の通過領域
第4問　数B(数列)　3種類の文字A，B，Cの並べ方の総数

2020年 †

出題意図　

理系・前期
 第1問　数I(三角比)　三角形内の点と3頂点を結ぶ線分の長さの平方和
第2問=文３　数II(図形と方程式)　1つの円と2本の直線との共有点の個数
第3問=文２　数A(整数)　を満たす整数の組(a,b,n)
第4問　数A(確率)　玉を取り出し硬貨を投げる試行での確率
第5問　数III(複素数平面)　複素数平面上での $z=\frac{-1}{t+i}$ の軌跡
第6問　数III(定積分)　 $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^m x\sin^n x\,dx$ が有理数であること
理系(経済(理系)・理学部)・後期
 第1問=文3　数II(積分)　4次関数のグラフと放物線で囲まれた図形の面積
第2問　数A(整数)　6の倍数，8の倍数，24の倍数．
第3問　数B(数列)　定積分で定義された一般項の和と和の最小値
第4問=文4　数B(確率と漸化式)　Mがｎ回後にA，Bにいる確率
第5問　数III(複素数平面)　直線の方程式と2直線の交点
第6問　数III(積分)　逆関数の微分，定積分と漸化式

文系・前期
 第1問　数II(積分)　放物線とｘ軸で囲まれた図形の面積の最大最小
第2問=理３　数A(整数)　を満たす整数の組(a,b,n)
第3問=理２　数II(図形と方程式)　1つの円と2本の直線との共有点の個数
第4問　数A，数B(確率，平面ベクトル)　平面ベクトルと確率の融合
文系(経済(文系)学部)・後期
 第1問　数I(不等式)　絶対値のついた2次不等式
第2問　数II(図形と方程式)　点と直線の距離の積の最大値
第3問=理1　数II(積分)　4次関数のグラフと放物線で囲まれた図形の面積
第4問=理4　数B(確率と漸化式)　Mがｎ回後にA，Bにいる確率

2019年 †

出題意図　 /19東北大入試問題研究会

理系・前期
 第1問　数III(微分)　 $y=\sin x$ の直交する2つの接線の交点
第2問=文2　数II(対数)　対数不等式を満たす整数解
第3問　数III(数列)　初項のとり方による漸化式の極限
第4問　数II(整式)　整式をで割った余り
第5問　数III(積分)　定積分で表された関数
第6問　数B(数列)　取り出した赤玉の個数についての確率と漸化式

理系(理学部)・後期
 第1問　数II(微分積分)　放物線の接線と面積の最小値
第2問　数II(三角関数)　加法定理と三角関数の方程式
第3問=経3　数B(空間ベクトル)　正四面体におけるベクトルの内積
第4問　数III(微分)　凸関数における不等式
第5問　数A(確率)　コインの裏表による2進法表記，条件付き確率
第6問　数III(複素数)　絶対値を用いた等式と2直線の平行条件

文系・前期
 第1問　数II(方程式)　直線と放物線の交点
第2問=理2　数II(対数)　対数不等式を満たす整数解
第3問　数B(数列)　数学的帰納法，3項間漸化式
第4問　数A(確率)　ｎ枚の硬貨の中に金貨がｊ枚残る確率
文系(経済学部)・後期
 第1問　数II(積分)　絶対値がついた関数の積分
第2問　数II(微分)　放物線の接線2本と三角形の面積
第3問=理3　数B(空間ベクトル)　正四面体におけるベクトルの内積
第4問　数A(場合の数)　上段下段に整数が並ぶ表の個数

2018年 †

出題意図　 /18東北大入試問題研究会

理系・前期
 第1問　数II(図形と方程式)　2つの放物線の交点を通る直線の通過領域
第2問　数A(確率)　取り出す番号札の和についての確率
第3問　数A(整数)　を満たす整数の組(a,b)を求める
第4問　数II(三角関数)　三角形の内接円と外接円の半径の比について
第5問　数III(複素数平面)　複素数の2次方程式の係数 $\alpha$ が描く図形
第6問　数III(積分)　のまわりに回転して得られる立体の体積

理系(理学部)・後期
 第1問　数III(数列)　放物線とx軸およびy軸とで囲まれた図形の格子点の個数と極限
第2問　数II(三角関数)　円周上の点で作られる2つの三角形の面積の和の最大値
第3問　数A(確率)　9枚の板をひっくり返すときの確率
第4問　数III(数列)　奇数・偶数で場合分け表示された漸化式の極限
第5問　数B(空間ベクトル)　正四面体の4頂点からの距離の平方和の最大値と最小値
第6問　数III(積分)　定積分で表された数列と極限

文系・前期
 第1問　数II(図形と方程式)　2つの放物線の交点を通る直線について
第2問　数A(確率)　取り出す番号札の和についての確率
第3問　数II(面積)　放物線と直線で囲まれた図形の面積
第4問　数B(空間ベクトル)　四面体と2直線

文系(経済学部)・後期
 第1問　数B(数列)　放物線とx軸およびy軸とで囲まれた図形の格子点の個数
第2問　数II(方程式)　4次方程式の実数解，虚数解の個数
第3問　数A(確率)　9枚の板をひっくり返すときの確率
第4問　数A(整数)　ピタゴラス数

2017年 †

出題意図　 /17東北大入試問題研究会

理系・前期
 第1問　数I(2次関数)　絶対値のついた2次関数のグラフと直線との共有点
第2問>文4　数A(確率)　得点を競うゲームでの確率および条件付き確率
第3問　数A(整数)　2次方程式が有理数解や整数解をもつような係数の組
第4問＝文1　数B(平面ベクトル)　三角形の内部の点の位置ベクトルと垂線の長さについて
第5問　数III(複素数)　複素数係数の方程式の解がちょうど2個あるための条件
第6問　数III(積分)　(指数関数)×(三角関数)の定積分と極限

理系(理学部)・後期
 第1問＝文1　数II(微分)　円の周を2等分する放物線の接線
第2問　数III(積分)　定積分で表された関数の最小値
第3問　数III(微分)　 $\frac{1}{2+\cos\theta}+\frac{1}{2+\sin\theta}$ の最大値・最小値
第4問　数B(確率と漸化式)　立方体上を移動する点についての条件付き確率
第5問=文4　数B(和の計算)　2x+2y+z≦n を満たす負でない整数x,y,zの組の総数
第6問　数B(空間ベクトル)　2つのベクトルのなす角の cos の最大値

文系・前期
 第1問＝理4　数B(平面ベクトル)　三角形の内部の点の位置ベクトルと垂線の長さについて
第2問　数II(積分)　2次関数の最小値・不等式で表された領域の面積
第3問　数A(整数)　n＝as＋3t を満たす負でない整数s，tが存在すること
第4問<理2　数A(確率)　得点を競うゲームでの確率

文系(経済学部)・後期
 第1問=理1　数II(微分)　円の周を2等分する放物線の接線
第2問　数II(方程式)　複素数解が5個存在するような3次方程式
第3問　数A(確率)　3個の玉を取り出すときの最大確率
第4問=理5　数B(和の計算)　2x+2y+z≦n を満たす負でない整数x,y,zの組の総数

2016年 †

理系・前期
 第1問=文4　数A(平面幾何)　垂心が垂足三角形の内心であることに関する問題
第2問　数B，A(数学的帰納法，整数)　を満たす素数の組 $(p,\quad q)$ を求める
第3問　数A(確率)　サイコロ投げで直角三角形，鈍角三角形ができる確率
第4問　数III(複素数)　複素数の極形式と3次方程式の解と係数の関係
第5問　数A，I(2次関数)　空間における2円の面積の和の最大値
第6問　数III(定積分)　定積分で表された関数の最大値と最小値

理系(理学部)・後期
 第1問　数B(平面ベクトル)　 $\vec{\mathrm{OA}_j}=\vec{\mathrm{OA}_k}+\vec{\mathrm{OA}_l}$ を満たす円周上の点 $\mathrm{A}$ について
第2問　数B(確率と漸化式)　ウイルスの感染拡大に関する3項間漸化式
第3問=文3　数A(確率)　7個のサイコロによる条件付き確率
第4問　数III(楕円)　楕円上の五角形の面積の最大値
第5問　数III(複素数平面)　4点が同一円周上にあるための条件
第6問　数III(積分)　定積分 $\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi}(x^2-a\cos 2x)^2\,dx$ の最小値

文系・前期
 第1問　数B(平面ベクトル)　斜交座標．領域内を動く点Pによる内積 $\vec{\mathrm{OP}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}$ の最大値
第2問　数II(面積)　2次関数のグラフと折れ線との共有点，面積
第3問　数A(整数)　3文字の不定方程式
第4問=理1　数A(平面幾何)　垂心が垂足三角形の内心であることに関する問題

文系(経済学部)・後期
 第1問　数II(不等式)　3文字の不等式
第2問　数II(図形と方程式)　領域における最大・最小
第3問=理3　数A(確率)　7個のサイコロによる条件付き確率
第4問　数B(平面ベクトル)　分点公式と内積

2015年　入試課程変更(数C廃止) †

理系・前期
 第1問　数III(2次曲線)　楕円の法線と座標軸で囲まれた三角形の面積
第2問　数II(微分)　3次関数のグラフの接線
第3問　数A(確率)　サイコロの目で決まる2次方程式の解についての確率
第4問　数III(積分・極限)　定積分の不等式評価と極限
第5問=文2　数A(図形)　鋭角三角形を折り曲げてできる四面体の体積
第6問　数A，B(整数)　「--連続和」で表される整数の個数

理系(理学部)・後期
 第1問=文2　数II(微分)　2つの放物線に接する2本の接線の交点　
第2問　数II(図形と方程式)　三角形と円の共有点　
第3問　数A(確率)　サイコロの目により決まる値 $ad\pm cd$ の確率　
第4問　数III(微分)　関数方程式により決まる関数と微分可能性
第5問　数II(複素数)　実部と虚部がどちらも整数である複素数
第6問　数III(積分)　定積分と不等式および極限

文系・前期
 第1問　数B(数列)　変則的な2項間漸化式の一般項
第2問=理5　数A(図形)　鋭角三角形を折り曲げてできる四面体の体積
第3問<理3　数A(確率)　サイコロの目で決まる2次方程式の解についての確率
第4問　数II(微分)　3次関数の最大・最小

文系(経済学部)・後期
 第1問　数B(空間ベクトル)　球面の方程式
第2問=理1　数II(微分)　2つの放物線に接する2本の接線の交点　
第3問=理3　数A(確率)　サイコロの目により決まる値 $ad\pm cd$ の確率　
第4問　数(積分)　連立不等式で表された領域の面積

2014年 †

理系・前期
 第1問　数III，I(方程式)　分数関数の値域，2次方程式の解の配置　
第2問　数B(空間ベクトル)　平行六面体の切り口の面積　
第3問=文2　数A(確率)　数字が書かれた玉を取り出すときの数字の積についての確率　
第4問　数C(1次変換)　1次変換による三角形の移動　
第5問　数III(積分)　定積分の計算　
第6問　数III，B(微分)　微分法の不等式への応用，数学的帰納法

理系(理学部)・後期
第1問　数C(1次変換)　直線の像　
第2問　数B(空間ベクトル)　線分と三角形の共有点　
第3問　数III(数列の極限)　格子点の個数と面積の比の極限　
第4問=文3　数A(場合の数)　長方形の板の塗り分け方　
第5問　数II(面積)　3次関数，2次関数のグラフで囲まれた図形の面積　
第6問　数III(微分)　双曲線と接線，軸で囲まれた図形の面積　
文系・前期
 第1問　数II(微積混合)　放物線と2本の接線で囲まれる図形の面積
第2問=理3　数A(確率)　数字が書かれた玉を取り出すときの数字の積についての確率
第3問　数B(平面ベクトル)　線分に直交する角の二等分線
第4問　数II(三角関数)　 $2\sin x+\sin y=1$ を満たすときの $2\cos x+\cos y$ の最大値と最小値

文系・後期
 第1問　数II(指数・対数)　対数不等式と領域
第2問　数B(空間ベクトル)　平面に垂直な線分の長さの最小値
第3問=理4　数A(場合の数)　長方形の板の塗り分け方
第4問　数II(図形と方程式，積分)　2つの条件を満たす直線の通過領域

2013年 †

理系・前期
 第1問　数II(方程式)　3次方程式の解と係数の関係と2つの3次方程式の共通解　 /kamelink
第2問=文2　数B(空間ベクトル)　四面体の体積
第3問　数A(確率)　サイコロの目の和によるゲームと確率
第4問　数III(積分)　積分の計算と極限(ハサミウチ) /類題03年後期第4問 /kamelink
第5問　数C(1次変換)　回転移動による点の像P と原点との距離OP
第6問　数III(体積)　非回転体の体積

理系(理学部)・後期
 第1問　数II(方程式・三角関数)　2次方程式の解と三角関数　
第2問　数B(空間ベクトル)　四面体における三角形の面積　
第3問　数C(いろいろな曲線)　双曲線と直線の交点の個数　
第4問=文3　数A(反復試行)　数字の和が3の倍数となる確率　
第5問　数III(数列の極限)　和と一般項および無限和　
第6問　数III(微分)　円と三角形がつくる図形の面積の最小値　
文系・前期
 第1問　数I(方程式とグラフ)　2次方程式の解の配置と頂点の座標の取り得る値の範囲
第2問=理2　数B(空間ベクトル)　四面体の体積
第3問　数A(確率)　サイコロの目の和によるゲームの確率
第4問　数II(面積)　2つの図形の共通部分の面積とその最大値

文系・後期
 第1問　数II(図形と方程式)　2つの放物線の交点を通る直線の傾きの最大値
第2問＜理1　数II(方程式・三角関数)　2次方程式の解と三角関数
第3問=理4　数A(反復試行)　数字の和が3の倍数となる確率
第4問　数B(空間ベクトル)　正四面体の辺上の3点がつくる三角形の面積

2012年 †

理系・前期　
 第1問　数II(領域)　2つの媒介変数で表された点の動く範囲
第2問　数C(1次変換)　対称移動の合成，回転移動の積
第3問=文3　数A(期待値)　袋A，Bから取るカードの数字が一致する回数の期待値，回でカードがすべて取り除かれる確率
第4問　数III(積分)　 $f(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos|t-x|}{1+\sin|t-x|}\,dt~\qquad(0\leq x\leq \pi)$ の最大値，最小値
第5問　数III(微分)　AB を直径とする円上の動点 P と P により決まる線分 AB 上の点 Q を結ぶ線分 PQ の長さの最大について
第6問　数III(数列の極限)　 $a_1,~\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}}$ で定まる数列 $\{a_n\}$ についての不等式と極限

理系(理学部)・後期
 第1問　数II(領域)　領域における最大最小
第2問　数III(面積)　放物線で囲まれた図形の面積が最大となるの値
第3問　数B(空間ベクトル)　空間における線分の長さの和 $\small 2\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$ の最小値
第4問　数A(確率)　訪問点となる確率
第5問　数II(複素数)　ド・モアブルの定理
第6問　数III(積分)　区分求積，内接円の面積の総和

文系・前期　
 第1問　数II(積分)　上の2点における法線と面積
第2問　数II(三角関数)　 $f(x)=\left|2\cos^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin x+\sqrt{3}\cos x-\frac{5}{4}\right|$ の値域
第3問=理3　数A(期待値)　袋A，Bから取るカードの数字が一致する回数の期待値，回でカードがすべて取り除かれる確率
第4問　数B(ベクトル)　内積で表された条件を満たすベクトルとベクトルの大きさのとりうる値の範囲

文系(経済学部)・後期
 第1問　数II(領域)　領域における最大最小
第2問　数II(不等式)　分数関数の値域
第3問　数A(確率)　カードの入れ換えによる場合の数・確率
第4問　数B(空間ベクトル)　空間における線分の長さの和 $\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$ の最小値

2011年震災のため後期試験は中止　 †

理系(問題)　
第1問　数II(不等式)　「すべての」，「いずれかの」に対して成り立つ不等式 $y\leq 2ax-a^2+2a+2$ について
第2問　数III(面積)　媒介変数表示を求め，面積を計算する
第3問　数A(確率)　赤玉3個，白玉7個の非復元事象における確率
第4問　数B(ベクトル)　「どのような $\theta$ 」をとっても垂直にならないための条件
第5問　数II(方程式)　複素数で表された方程式
第6問　数C(1次変換)　像P が点 (10,10) に最も近くなるときのの値を求める

理系(後期)　震災のため中止

文系(前期)　
第1問　数II(指数不等式)　指数不等式が解をもつためのの範囲．　
第2問　数II(平面ベクトル)　平面ベクトルと三角形の面積比．　
第3問　数A(確率)　赤玉3個，白玉7個の非復元事象における確率．　
第4問　数II(積分)　放物線と2本の接線で囲まれる部分の面積．

文系(後期)　震災のため中止

2010年 †

理系(前期)　
第1問　数II(不等式)　 3次関数を用いた不等式の成立条件．
第2問　数II(微分)　 3次関数の接線の本数．
第3問　数A(確率)　 5桁の整数をつくるときの確率．
第4問=文系第4問　数B(ベクトル) 　空間ベクトルと内積(垂直二等分面)．
第5問　数III(積分)　回転体の体積と微分．　
第6問　数C(点の移動)　正6角形と点の移動．

理学部(後期)　
第1問=文1　数II(不等式の証明） $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_j)^2\leq \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_j)^2$
第2問　数III(数列の極限）の解 $\alpha,~\beta$ に対し $\alpha^n$ に最も近い整数と $\alpha^n$ との差の極限
第3問　数C(1次変換)　回転移動と対称移動の合成
第4問　数III(数列)　 $f(x)=\sqrt{x+2}$ と $x_0=0,~x_n=f(x_{n-1})$
第5問　数II(三角関数)　 $\cos(\pi\cos x)=\cos x$ を満たすの個数
第6問　数III(体積)　 $(x-1)^2+y^2\leq 1,~0\leq x\leq 1,~y\geq 0$ の平行移動と90度回転

文系(前期)　
第1問　数II(不等式)　 3次関数を用いた不等式　
第2問　数II(図形と方程式)　放物線の法線に関する直線の対称移動　
第3問　数A(確率)　数直線上を回移動するときの確率　
第4問=理系第4問　数B(ベクトル)=理系第4問空間ベクトルと内積(垂直二等分面)

文系(後期)　
第1問=理1　数II(不等式の証明） $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_j)^2\leq \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_j)^2$ 　
第2問　数B(平面ベクトル)　三角形の外接円と内積
第3問　数A(期待値)　連勝する回数の期待値
第4問　数II(定積分)　定積分で表された関数

2009年 †

出題意図　（1/6公式と呼ばれる積分式は公式として認められたようだ）

[[理系(前期)>]]　
第1問　数II(式と証明)　3元3次の等式および不等式 $a^3+b^3+3abc\geq c^3$ の証明　
第2問　数I(2次不等式)　枚の長方形をのりづけして得られる長方形の面積による2次不等式　
第3問　数A(確率)　青玉7個，赤玉3個を順に取り出すときの確率および期待値
第4問　数III(積分法)　 $f(\theta)=\max\{\sin\theta,\ \sin(\theta-2a)\}$ の積分 $I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(\theta)\,d\theta$ と $0\leq a\leq \frac{\pi}{2}$ でのの最大値
第5問　数C(行列)　を満たす行列の決定
第6問　数III(微分法)　方程式の実数解の個数

理系(後期)　
第1問　数B(平面ベクトル)　1次独立と3点の一致条件
第2問=文2　数A(確率)　アメ玉3個を取り出すときの確率と期待値
第3問　数II(方程式)　 $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$ 　 /kamelink
第4問　数II(式の計算)　3次式を2次式で割るときの余りが一致するための2次式の条件
第5問　数III(微分)　と $y=\log(x-p)+q$ が一点のみを共有する
第6問　 $y=\sin x$ と $y=\sin ax$ が囲む図形の面積

文系(前期)　
第1問　数II(指数)　すべての実数に対して成り立つ指数不等式
第2問　数B(ベクトル)　直角三角形の一辺上を動く点と内積の値
第3問　数A(確率)　青玉7個，赤玉3個を順に取り出すときの確率
第4問　数I(2次不等式)　が領域内にあるためのの条件

文系(後期)　
第1問　数II(式の計算)　3次式を2次式で割るときの商と余りが一致するための2次式の条件
第2問=理2　数A(確率)　アメ玉3個を取り出すときの確率と期待値
第3問　数II(積分)　2つの放物線で囲まれた図形の面積
第4問　数II(図形と方程式)　3つの円の共通部分について

2008年 †

理系(前期)　
第1問　数II(多項式)　 3つの条件をみたす多項式の次数と係数決定　
第2問　数B，III(ベクトル，数列，極限)　等比数列となる内積の総和と極限　
第3問　数II(微分法)　四面体の体積の最大値　
第4問　数A(確率)　数直線上を原点に向かって移動する点の確率
第5問　数C，II(行列，三角関数)　行列で与えられた等式と三角方程式の解の存在条件
第6問　数II(積分法)　放物線と円とで囲まれた図形の面積と極限

理系(後期)　
第1問　数B(平面ベクトル)　三角形の1辺上に3点が順序を伴い並ぶ条件
第2問　数II(面積)　放物線と平行四辺形により囲まれた部分の面積
第3問　数II(対数)　対数不等式， $\log_{10}7$ の値
第4問　数B(数列)　分数漸化式 $a_{n+1}=\frac{4a_n+1}{2a_n+3}$ の一般項
第5問　数III(数列)　放物線と軸とで囲まれた領域内の格子点の総数と極限
第6問　数II(方程式・整数)　虚数解をもつ整数係数の3次方程式

文系(前期)　
第1問　数II(微分)　 3次関数の極大となる点の軌跡　
第2問　数II(多項式)　 3つの条件をみたす多項式の係数決定　
第3問　数B(ベクトル，数列)　等比数列となる内積の総和　
第4問　数I(確率)　数直線上を原点に向かって移動する点についての確率

文系(後期)　
第1問　数I(グラフ)　との交点の個数と座標
第2問　数II(面積)　放物線と平行四辺形により囲まれた部分の面積
第3問　数I(確率)　数直線上を移動する点の確率についての確率
第4問　数II(三角関数)　不等式 $\cos\theta\leq \sin 2\theta$ の成立確認

2007年 †

出題意図　(「数学の出題範囲および答案作成についての一般的注意」も掲載されている)

理系(前期)　
第1問=文1　数B(漸化式と整数)　整式の割り算により，連立漸化式をつくり，公約数で素数となるものを求める．　
第2問=文2　数II(三角関数)　角の二等分線と三角比および角の大小比較．　
第3問　数III(微分法)　対数方程式 $\frac{1}{x^n}-\log x-\frac{1}{e}=0$ と解の極限．　
第4問　数III(微分法)　正方形内の点 $(1,\ 2)$ を通る線分の長さの最大値と最小値．　
第5問　数III(積分法)　円筒面を回転してできる立体の体積．　
第6問　数III(積分法)　定積分 $\displaystyle I_n(a)=\int_{0}^{a}x^n\sqrt{1+x}\,dx$ による漸化式と極限．

理系(後期)　
第1問　数II(三角関数)　方程式 $\sin^3 x+\cos^3 x+\sin x=2$
第2問　数B(平面ベクトル)　平行四辺形におけるベクトルの内積
第3問　数I・II(確率，多項式)　合格する確率はの多項式
第4問　数I(方程式)　直線と放物線が2点で交わる
第5問　数III(微分)　不等式を満たす正数の範囲
第6問　数C(楕円，極限)　 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 上の個の点と極限

文系(前期)　
第1問=理1　数B(漸化式と整数)　整式の割り算により，連立漸化式をつくり，公約数で素数となるものを求める．　
第2問=理1　数II(三角関数)　角の二等分線と三角比および角の大小比較．　
第3問　数I・II(直線，2次関数)　 $\triangle\mathrm{ABC}$ の内部を点Pが動くときの $\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$ の最小値．　
第4問　数II(積分)　 $\displaystyle f(x)=x^2-x\int_0^2 |f(t)|\,dt$ を満たすを求める．

文系(後期)　
第1問　数II(三角関数)　方程式 $\sin^3 x+\cos^3 x+\sin x=2$
第2問　数B(平面ベクトル)　平行四辺形におけるベクトルの内積
第3問　数II(領域)　三角形 $A,\ B$ 内を動く2点の和の全体
第4問　数I・II(確率，多項式)　合格する確率はの多項式

2006年　入試課程変更(I・A・II・B・III・C) †

出題意図　(「数学の出題範囲および答案作成についての一般的注意」も掲載されている)

理系(前期)　
第1問　数II(図形と方程式)　円と直線とで囲まれた領域と動円の位置関係
第2問=文3　数B(ベクトル)　空間ベクトルの垂直および長さの計算
第3問　数A(確率)　独立試行の期待値，2人でくじ引きをするときの確率
第4問　数III(微分)　 $f(x)=x\sin\frac{\pi}{x}$ におけるの解についての考察
第5問　数C(行列)　3次の正方行列の積
第6問=文4　数II(積分)　2つの領域の共通部分の面積の最大値

理系(後期)　
第1問=文1　数II(整式)　多項式の互除法
第2問　数B(漸化式)　 $S_n=\frac{n}{3}(2p+a_n)$ を満たす $\{a_n\}$
第3問=文4　数I(期待値)　サイコロ投げの目の和の期待値
第4問　数III(微分)　 $f(x)=ax-(1+x)\log(1+x)-(1-x)\log(1-x)$ について
第5問　数III(積分)　直交する2つの円柱の共通部分の体積
第6問:?　数C(行列)　かつ $A^2\neq E$ ならばまたは

文系(前期)　
第1問　数I(数と式)　それぞれ共通因数をもつ3つの多項式　
第2問　数A(確率)　番号が書かれた球3個を取り出すときの3つの番号それぞれの期待値　
第3問=理2　数B(ベクトル)　ひし形を折って作られた図形における垂直および長さの計算　
第4問=理6　数II(積分)　帯状の領域と放物線で囲まれた図形の面積の最大値

文系(後期)　
第1問=理1　数II(整式)　多項式の互除法
第2問　数II(対数)　が39桁となるときのと最高位の数字
第3問　数II(微分)　点 $(a,\ b)$ からに引いた2本の接線
第4問=理3　数I(期待値)　サイコロ投げの目の和の期待値

2005年 †

出題意図　(「数学の出題範囲および答案作成についての一般的注意」も掲載されている)

理系(前期)　
第1問　数B(平面ベクトル)　平面ベクトルの垂直と長さの比による内積計算
第2問　数II(三角関数)　面積の等しい3つの三角形に分割される四角形
第3問　数I，III(確率，極限)　カードを取り出す試行での確率と期待値およびその極限
第4問　数II(積分)　3つの放物線により囲まれた図形の面積
第5問　数C，III(行列)　行列の漸化式，数列の収束条件
第6問　数III(微分)　分数関数が減少関数であるための条件，最大値

理系(後期)　
第1問　数II(面積)　2つの放物線と線分で囲まれた図形の面積
第2問　数B(方程式)　4次方程式の4つの異なる複素数解
第3問　数A(確率)　B君がA君より先に赤玉を取り出す確率
第4問　数III(体積)　底面が楕円の4分の1である立体の体積
第5問　数III(数列)　 $a_{n+1}=\frac{3n-1}{3n+5}a_n$ の一般項と無限和
第6問　数II(三角関数)　4つの等式からなる三角方程式

文系(前期)　
第1問　数B(ベクトル)　平面ベクトルの垂直と長さの比による内積計算
第2問　数II(三角関数)　面積の等しい3つの三角形に分割される四角形
第3問　数I(確率)　6個の箱に置かれた3枚ずつ置かれた皿の移動における確率
第4問　数II(面積)　2つの放物線で囲まれる部分の面積の最小値

文系(後期)　
第1問　数II(面積)　2つの線分と放物線で囲まれる図形の面積
第2問　数II(図形と方程式)　放物線の接線・法線
第3問　数A(確率)　B君がA君より先に赤玉を取り出す確率
第4問　数B(平面ベクトル)　三角形の重心を通る2本の線分と分点の比

2004年 †

理系(前期)　
第1問　数B(平面ベクトル)　 $|\vec{a}|^2=1$ ， $|\vec{b}|^2=1$ ， $|\vec{b}-\vec{a}|^2=\frac{1}{2}$ のもとでの $|k\vec{a}+l\vec{b}|^2$ についての考察
第2問　数III(積分)　媒介変数表示された曲線と軸で囲まれる図形の面積，道のり
第3問　数III(数列)　等差数列，等比数列の個の数の相加平均，相乗平均と極限
第4問　数I(確率)　手作りのさいころの出る目の総和の確率
第5問　数B(複素数)　のもとでの，，についての考察
第6問　数C(行列)　2つの行列 $A,\ B$ により生成されるすべての行列

理系(後期)　
第1問　数II(面積)　2つの3次曲線で囲まれた図形の面積
第2問:?　数C(行列)　，を満たす行列について
第3問　数II(三角関数)　 $|a\sin x+\cos 2x|=2$ が解をもつの条件
第4問=文4　数A(場合の数)　7人が2台の自動車に分乗するときの組合せの総数
第5問　数III(面積)　媒介変数表示された双曲線の面積
第6問　数B(複素数平面)　の解の存在範囲

文系(前期)　
第1問　数II(接線，面積)　2つの放物線で囲まれる図形の面積の最大値・最小値
第2問　数B(平面ベクトル)　等脚台形の面積および対角線の交点のベクトル表示
第3問　数B (複素数)　 $\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z+i}=\frac{1}{w}$ を満たす複素数，の実部，虚部について
第4問　数I(確率)　3人でじゃんけんをするときの回目で勝者が決まる確率

文系(後期)　
第1問　数II(図形と方程式)　 $y=x^2-\frac{2}{\cos \theta}x+\frac{2+\sin 2\theta}{1++\cos 2\theta}$ の頂点の軌跡
第2問　数B(平面ベクトル)　 $\vec{f}=p\vec{a}+q\vec{b}$ と $\vec{g}=r\vec{c}+s\vec{d}$ の内積 $\vec{f}\cdot\vec{g}$
第3問　数B(複素数)　複素数 $w=\frac{1}{(1+z)^2}$ の実部と虚部
第4問=理4　数A(場合の数)　7人が2台の自動車に分乗するときの組合せの総数

2003年 †

理系(前期)　
第1問　数C(行列)　ある条件のもとでが成立する整数の組 $(m,\ n)$
第2問=文2　数II(三角関数)　 $y=-4\cos 3\theta + \cos 2\theta -\sqrt3 \sin 2\theta+2\cos\theta +2\sqrt3\sin \theta$ の最大値，最小値
第3問　数III(数列)　 $a_1=c,\ a_{n+1}=\sqrt{f(a_n)}$ で与えられた数列の極限(ハサミウチ)
第4問　数III(積分)　線分PQが通過してできる曲面を回転してできる立体の体積
第5問　数B(複素数平面)　3点 $1,\ \alpha,\ \alpha^2$ を通る実軸上に中心もつ円
第6問　数III(微分)　 $f(x)=(x+1)\log\frac{x+1}{x}$ が単調減少であることとを満たすの範囲

理系(後期)　
第1問　数III(微分)　 $f(x)=(e^x-e^{-x})^n$ の二項展開と
第2問　数B(空間ベクトル)　直方体の辺上を動く6点がつくる六角形
第3問=文4　数II(図形と方程式)　2つ円上の動点P，Qによる線分PQの中点の軌跡
第4問　数III(積分)　積分の計算と極限(ハサミウチ) /類題13年第4問
 第5問　数III(関数)　 $y=e^{x-c}$ と逆関数のグラフの共有点の個数
第6問　数C(行列)　，， $A\neq O$ を満たす行列

文系(前期)　
第1問　数I(不等式)　2つの不等式の解の共通部分 $A \cap B$ が空集合でないためのの範囲
第2問　数B(ベクトル)　 $\vec{\mathrm{DE}},\ \vec{\mathrm{EF}}$ が垂直である条件， $\vec{\mathrm{AD}},\ \vec{\mathrm{EF}}$ が垂直でないことの証明
第3問　数I(確率)　バス停Aに到着後バス停Cへ到着するまでにかかる時間の確率
第4問=理2　数II(三角関数)　 $y= -4\cos 3\theta + \cos 2\theta -\sqrt3 \sin 2\theta+2\cos\theta +2\sqrt3\sin \theta$ の最大値，最小値

文系(後期)　
第1問　円周上の4点を訪問する確率
第2問　2つの放物線で囲まれる部分の面積
第3問　数B(空間ベクトル)　直方体の辺上を動く6点について
第4問=理3　数II(図形と方程式)　2つ円上の動点P，Qによる線分PQの中点の軌跡

2002年 †

理系(前期)　
第1問=文1　数B(複素数)　虚数解をもつ実数係数の4次方程式の係数と他の解について
第2問　数III(積分)　媒介変数表示された曲線の概形および面積
第3問　数I(確率)　格子状の道路を $\mathrm{A}\rightarrow \mathrm{B}\rightarrow \mathrm{C}$ と進むランダム・ウォーク
第4問　数B(空間ベクトル)　2つの正四面体の2辺がなす角と余弦
第5問　数C(2次曲線)　楕円の接線と法線が切りとる軸上の線分の長さの最小値
第6問　数III(積分)　関数列 $f_n(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}f_{n-1}(t)F_{n-1}(t)\,dt$ について

理系(後期)
第1問　数III(積分)　上の点と定点との距離の最小値と $\displaystyle \int_{0}^{x}g(t)\ dt$
第2問　数B(複素数平面)　 $i\alpha\beta=1,\ \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\overline{\alpha}}=\beta+\overline{\beta}$ を満たす複素数 $\alpha,\ \beta$ について
第3問　数C(行列)　 $A^3=E,\ JAJ=A^{-1}$ を満たす行列
第4問=文3　数A(確率)　赤箱，白箱，黒箱から玉を取り出すときの確率
第5問　数B(数列)　線分と放物線が囲む図形の面積と多角形の面積
第6問　数III(微分)　 $f(x)=2x^2\log x-x^2-ax(x-2)$ の極小値の個数

文系(前期) 　
第1問=理1　数B(複素数)　虚数解をもつ実数係数の4次方程式の係数と他の解について
第2問　数I(2次関数)　整数を定義域とする2次関数 $f(x)=x^2+\frac{2\cos\theta}{\sqrt3}x-2\sin\theta$ の最小値
第3問　数I(確率)　格子状の道路を $\mathrm{A}\rightarrow \mathrm{B}\rightarrow \mathrm{C}$ と進むランダム・ウォーク
第4問　数II(積分)　関数 $f(t)=\displaystyle \int_{-1}^{1}|(x-t+2)(x+t)|\,dt\ (t\geq 1)$ の最小値

文系(後期)　
第1問　数II(積分)　放物線で分けられる長方形の2つの部分の面積
第2問　数II(三角関数)　塔の高さ，仰角
第3問=理4　数A(確率)　赤箱，白箱，黒箱から玉を取り出すときの確率
第4問　数I(関数とグラフ)　2つの放物線に接する放物線，接点を結ぶ線分の傾き

2001年 †

理系(前期)　
第1問　数II(面積)　3次曲線と放物線によって囲まれる面積の最小値
第2問　数III(関数の極限)　 $f(x)=\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$ における極限値 $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)$ ， $\displaystyle \lim_{x\to 0}f$ と3つの関数のグラフ
第3問　数I(期待値)　1から200までの整数が記入されたカードによる期待値
第4問　数B(空間ベクトル)　四面体の体積
第5問　数B(複素数)　，( との虚部の積) のとき，となるための必要十分条件
第6問　数III(積分)　 $\lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{0}^{t}x^me^{-x}\,dx$ を求める

理系(後期)　
第1問　数III(積分)　区分求積 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{a_n}}\right)$
第2問　数B(複素数平面)　3直線がつくる正三角形
第3問=文4　数I(組合せ，確率)　対戦相手の組み合わせ，確率
第4問　数C(行列)　行列の対角化と，数列の極限
第5問　数III(積分)　 $y=\frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2a}$ の概形と弧長
第6問　数C(いろいろな曲線)　の極方程式(リマソン)

文系(前期)　
第1問　数II(面積)　2つの放物線の共通接線と面積
第2問　数I(2次関数)　放物線と三角形が交わる条件
第3問　数I(確率)　袋の中の球を取り換えていくときの確率
第4問　数B (空間ベクトル)　四面体の体積

文系(後期)　
第1問　数II(積分)　に接する2つの放物線と面積
第2問　数II(三角関数)　媒介変数表示された2点が一致する条件
第3問　数I(方程式)　を満たすの個数
第4問=理3　数I(組合せ，確率)　対戦相手の組み合わせ，確率

2000年 †

理系(前期)　
第1問　数C(行列)　等式が成立するための $p,\ q$ の条件
第2問　数B(複素数)　複素数の絶対値を係数にもつ2次関数の最小値
第3問　数III(関数)　分数関数 $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め， $f^{-1}(x)=f(x)$ や $f^{-1}(x)=f(f(x))$ を満たす $a,\ b,\ c,\ d$ の条件を求める
第4問=文4　数I(確率)　数直線上を5回移動して，もとの点に戻る確率
第5問　数III(微分)　三角形と正方形の共通部分の面積の最大値
第6問　数A(数列)　等比数列の小数部分と和の整数部分

理系(後期)　
第1問　数III(積分)　軸，軸まわりの回転体の体積
第2問　数B(平面ベクトル)　フェルマー点
第3問　数III(数列)　 $a_{n+1}= \left\{1+\sqrt{3} \left(1-\frac{a_{n+1}}{\sqrt{2}}\right) \right\} a_n$ の一般項と極限
第4問　数I(場合の数，確率)　個のと個のがつくる連の個数と確率
第5問　数C(楕円)　2個の楕円の共通部分の面積
第6問　数III(面積)　3次関数のグラフの軸に関して対称移動と面積

文系(前期)　
第1問　数B(複素数)　 $x^2+(i-2)x+2ab+\left(\frac{b}{2}-2a\right)\!i=0$ を満たす実数 $a,\ b$ が存在するための実数の範囲
第2問　数I(不等式)　を解く
第3問　数II(面積)　三角形内を動く直線の通過領域の図示とその面積
第4問=理4　数I(確率)　数直線上を5回移動して，もとの点に戻る確率

文系(後期)　
第1問　数II(三角関数)　∠ABC＝∠ACB＝ $15^{\circ}$ である三角形
第2問　数A(整数)　3次方程式の整数解
第3問　数A(整数)　を満たす整数について
第4問　数I(確率)　2個の硬貨を投げて平面上の移動するときの確率

Last-modified: 2025-04-14 (月) 20:37:39 (7d)